Seja v neq 0. Mostre que v|v| é um vetor unitário.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o problema nos pede para mostrar que, se tivermos um vetor v que não é zero, ao dividirmos esse vetor pela sua norma |v|, o resultado será um vetor unitário. Estamos trabalhando com vetores e normas, que são conceitos fundamentais em matemática e física. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a norma de um vetor e como ela nos ajuda a identificar vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor, denotada por |v|, é uma medida do comprimento ou tamanho desse vetor. Para um vetor no espaço euclidiano, por exemplo, a norma é calculada usando o teorema de Pitágoras. Saber a norma é essencial para normalizar vetores, ou seja, transformá-los em vetores unitários que têm comprimento igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor v|v|. A fórmula para a norma de um vetor multiplicado por um escalar (no nosso caso, 1|v|) é dada por:
| v|v| | = 1|v| cdot |v|
Aqui, estamos distribuindo a norma sobre a divisão.

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
1|v| cdot |v| = 1
Isso mostra que a norma do vetor v|v| é igual a 1.

Resposta

Portanto, v|v| é um vetor unitário, já que sua norma é 1.

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