Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.

Passo 1

Então, temos a seguinte integral para analisar a convergência ou divergência:
Vamos usar o critério de comparação para verificar se essa integral converge ou diverge. Para isso, precisamos comparar nossa função com outra função que seja mais fácil de integrar e que conhecemos o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta para valores grandes de . Observe que cresce muito mais rápido que conforme aumenta. Portanto, para grandes, domina a expressão .
Isso significa que, para grande:
Portanto, a função se comporta aproximadamente como para grande.

Passo 3

Agora, escolhemos uma função de comparação. Vamos considerar:
Sabemos que a integral de de 1 até o infinito é:
Essa é uma integral que podemos calcular facilmente e sabemos se converge ou diverge.

Passo 4

Vamos calcular a integral de :
Avaliando de 1 até o infinito:
Como essa integral resulta em um número finito, concluímos que converge.

Passo 5

Agora, aplicamos o Critério da Comparação. Sabemos que para :
Já que converge e nossa função é menor ou igual a para todo , pelo critério de comparação, a integral original também converge.

Resposta

A integral
é convergente.

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