Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
integral1^infty 1x+e^2 x d x

Passo 1

Então, temos a seguinte integral para analisar a convergência ou divergência:
integral1^infty 1x + e^2x , dx
Vamos usar o critério de comparação para verificar se essa integral converge ou diverge. Para isso, precisamos comparar nossa função com outra função que seja mais fácil de integrar e que conhecemos o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta para valores grandes de x + e^2x approx e^2x . Observe que cresce muito mais rápido que conforme aumenta. Portanto, para grandes, domina a expressão .
Isso significa que, para grande:
Portanto, a função se comporta aproximadamente como para grande.

Passo 3

Agora, escolhemos uma função de comparação. Vamos considerar:
g(x) = 1e^2x
Sabemos que a integral de integral1^infty 1e^2x , dx de 1 até o infinito é:
Essa é uma integral que podemos calcular facilmente e sabemos se converge ou diverge.

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral 1e^2x , dx = integral e^-2x , dx = -12 e^-2x + C :
limb to infty ( -12 e^-2b + 12 e^-2 cdot 1 ) = 0 + 12 e^-2 = 12 e^-2
Avaliando de 1 até o infinito:
Como essa integral resulta em um número finito, concluímos que converge.

Passo 5

Agora, aplicamos o Critério da Comparação. Sabemos que para 0 < 1x + e^2x <= 1e^2x :
Já que converge e nossa função é menor ou igual a para todo , pelo critério de comparação, a integral original também converge.

Resposta

A integral
integral1^infty 1x + e^2x , dx
é convergente.

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