Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Então, temos a seguinte integral para analisar a convergência ou divergência:
Vamos usar o critério de comparação para verificar se essa integral converge ou diverge. Para isso, precisamos comparar nossa função com outra função que seja mais fácil de integrar e que conhecemos o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função se comporta para valores grandes de
. Observe que
cresce muito mais rápido que
conforme
aumenta. Portanto, para
grandes,
domina a expressão
.
Isso significa que, para
grande:
Portanto, a função
se comporta aproximadamente como
para
grande.
Passo 3
Agora, escolhemos uma função de comparação. Vamos considerar:
Sabemos que a integral de
de 1 até o infinito é:
Essa é uma integral que podemos calcular facilmente e sabemos se converge ou diverge.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
:
Avaliando de 1 até o infinito:
Como essa integral resulta em um número finito, concluímos que
converge.
Passo 5
Agora, aplicamos o Critério da Comparação. Sabemos que para
:
Já que
converge e nossa função
é menor ou igual a
para todo
, pelo critério de comparação, a integral original também converge.
Resposta
A integral
é convergente.
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