Mostre que: (B C)^t=C^t B^t;

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a transposta do produto de duas matrizes, ou seja, (BC)^t, é igual ao produto das transpostas na ordem invertida, C^t B^t. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transposição de matrizes e as propriedades do produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz A, denotada por A^t, é obtida trocando-se as linhas por colunas. Isso significa que o elemento na posição (i,j) de A^t é o elemento na posição (j,i) de A.

Passo 3

Agora, consideremos o produto das matrizes B e C, ou seja, BC. Se B é uma matriz de tamanho m times n e C é de tamanho n times p, então o produto BC será uma matriz de tamanho m times p.

Passo 4

A transposta de BC, que é (BC)^t, terá tamanho p times m. Cada elemento (i,j) de (BC)^t será igual ao elemento (j,i) de BC.

Passo 5

Vamos calcular o elemento (j,i) de BC. Pelo produto de matrizes, temos:
(BC)j,i = sumk=1^n Bj,k cdot Ck,i

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto das transpostas C^t B^t. A matriz C^t terá tamanho p times n e B^t terá tamanho n times m, então o produto C^t B^t será uma matriz de tamanho p times m, igual ao tamanho de (BC)^t.

Passo 7

O elemento (i,j) de C^t B^t é dado por:
(C^t B^t)i,j = sumk=1^n C^ti,k cdot B^tk,j = sumk=1^n Ck,i cdot Bj,k

Passo 8

Observamos que:
(BC)^ti,j = (BC)j,i = sumk=1^n Bj,k cdot Ck,i = sumk=1^n Ck,i cdot Bj,k = (C^t B^t)i,j

Resposta

Portanto, (BC)^t = C^t B^t.

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