Mostre que:
;
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a transposta do produto de duas matrizes, ou seja,
, é igual ao produto das transpostas na ordem invertida,
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transposição de matrizes e as propriedades do produto de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando-se as linhas por colunas. Isso significa que o elemento na posição
de
é o elemento na posição
de
.
Passo 3
Agora, consideremos o produto das matrizes
e
, ou seja,
. Se
é uma matriz de tamanho
e
é de tamanho
, então o produto
será uma matriz de tamanho
.
Passo 4
A transposta de
, que é
, terá tamanho
. Cada elemento
de
será igual ao elemento
de
.
Passo 5
Vamos calcular o elemento
de
. Pelo produto de matrizes, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto das transpostas
. A matriz
terá tamanho
e
terá tamanho
, então o produto
será uma matriz de tamanho
, igual ao tamanho de
.
Passo 7
O elemento
de
é dado por:
Passo 8
Observamos que:
Resposta
Portanto,
.