Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método de escalonamento de Gauss 2 x+y+2 z-w & =2 -x+y+3 z+2 w & =-2 3 z & =-3 -2 x-y+5 z-w & =-11

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método de escalonamento de Gauss. Esse método faz parte da álgebra linear e nos ajuda a encontrar os valores das variáveis em sistemas de equações. Precisaremos organizar o sistema em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificar até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
2 & 1 & 2 & -1 & | & 2 -1 & 1 & 3 & 2 & | & -2 0 & 0 & 3 & 0 & | & -3 -2 & -1 & 5 & -1 & | & -11

Passo 3

Começamos pela primeira coluna. Nosso objetivo é ter um 1 na posição (1,1). Dividimos a primeira linha por 2:
1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 1 -1 & 1 & 3 & 2 & | & -2 0 & 0 & 3 & 0 & | & -3 -2 & -1 & 5 & -1 & | & -11

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para a segunda linha, adicionamos a primeira linha:
Linha2 = Linha2 + Linha1:
1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 1 0 & 1.5 & 4 & 1.5 & | & -1 0 & 0 & 3 & 0 & | & -3 -2 & -1 & 5 & -1 & | & -11

Passo 5

Para a quarta linha, adicionamos 2 vezes a primeira linha:
Linha4 = Linha4 + 2 * Linha1:
1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 1 0 & 1.5 & 4 & 1.5 & | & -1 0 & 0 & 3 & 0 & | & -3 0 & 0 & 7 & -2 & | & -9

Passo 6

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos um 1 na posição (2,2). Dividimos a segunda linha por 1.5:
1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 1 0 & 1 & 83 & 1 & | & -23 0 & 0 & 3 & 0 & | & -3 0 & 0 & 7 & -2 & | & -9

Passo 7

Eliminamos o elemento acima do 1 na segunda coluna. Subtraímos 0.5 vezes a segunda linha da primeira:
Linha1 = Linha1 - 0.5 * Linha2:
1 & 0 & -13 & -1 & | & 43 0 & 1 & 83 & 1 & | & -23 0 & 0 & 3 & 0 & | & -3 0 & 0 & 7 & -2 & | & -9

Passo 8

Agora, focamos na terceira coluna. Queremos um 1 na posição (3,3). Dividimos a terceira linha por 3:
1 & 0 & -13 & -1 & | & 43 0 & 1 & 83 & 1 & | & -23 0 & 0 & 1 & 0 & | & -1 0 & 0 & 7 & -2 & | & -9

Passo 9

Eliminamos os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna. Para a quarta linha, subtraímos 7 vezes a terceira linha:
Linha4 = Linha4 - 7 * Linha3:
1 & 0 & -13 & -1 & | & 43 0 & 1 & 83 & 1 & | & -23 0 & 0 & 1 & 0 & | & -1 0 & 0 & 0 & -2 & | & -2

Passo 10

Finalmente, resolvemos a quarta linha para encontrar o valor de -2w = -2 implies w = 1 :

Resposta

As soluções do sistema são:
w = 1, z = -1, y = 0, x = 2

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