Mostre que (b) raiz(6) não é um número racional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que mostrar que não é um número racional. A matéria aqui envolve números racionais e irracionais, e para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado prova por contradição. Basicamente, vamos assumir que é racional e mostrar que isso leva a um absurdo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e não é zero. Além disso, essa fração deve estar na sua forma mais simples, ou seja, e não têm nenhum divisor comum além de 1.

Passo 3

Agora, vamos supor, para tentar chegar a uma contradição, que é racional. Então, podemos escrever:
onde e são inteiros coprimos (sem fatores comuns além de 1).

Passo 4

Vamos quadrar os dois lados dessa equação para eliminar a raiz quadrada:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Isso significa que é múltiplo de 6. Como 6 é , isso implica que é múltiplo de 2 e de 3. E se é múltiplo de um número primo, então também é múltiplo desse número primo. Portanto, deve ser múltiplo de 2 e de 3.

Passo 6

Se é múltiplo de 2, podemos escrever para algum inteiro . Substituindo na equação :
Simplificando:

Passo 7

Agora, isso mostra que é múltiplo de 2, o que significa que também é múltiplo de 2, e portanto, deve ser múltiplo de 2.

Passo 8

Agora, tanto quanto são múltiplos de 2, o que significa que eles têm um fator comum de 2. Isso contraria a nossa suposição inicial de que estava na forma mais simples (sem fatores comuns além de 1).

Passo 9

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que é racional está errada. Portanto, não é um número racional.

Resposta

não é um número racional.

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