Mostre que (b)
não é um número racional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que mostrar que
não é um número racional. A matéria aqui envolve números racionais e irracionais, e para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado prova por contradição. Basicamente, vamos assumir que
é racional e mostrar que isso leva a um absurdo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
não é zero. Além disso, essa fração deve estar na sua forma mais simples, ou seja,
e
não têm nenhum divisor comum além de 1.
Passo 3
Agora, vamos supor, para tentar chegar a uma contradição, que
é racional. Então, podemos escrever:
onde
e
são inteiros coprimos (sem fatores comuns além de 1).
Passo 4
Vamos quadrar os dois lados dessa equação para eliminar a raiz quadrada:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Isso significa que
é múltiplo de 6. Como 6 é
, isso implica que
é múltiplo de 2 e de 3. E se
é múltiplo de um número primo, então
também é múltiplo desse número primo. Portanto,
deve ser múltiplo de 2 e de 3.
Passo 6
Se
é múltiplo de 2, podemos escrever
para algum inteiro
. Substituindo na equação
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isso mostra que
é múltiplo de 2, o que significa que
também é múltiplo de 2, e portanto,
deve ser múltiplo de 2.
Passo 8
Agora, tanto
quanto
são múltiplos de 2, o que significa que eles têm um fator comum de 2. Isso contraria a nossa suposição inicial de que
estava na forma mais simples (sem fatores comuns além de 1).
Passo 9
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que
é racional está errada. Portanto,
não é um número racional.