Mostre que (a)
não é um número racional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar que
não é um número racional. Isso está ligado ao conteúdo de números racionais e irracionais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um número racional e usar o método da prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um número racional. Um número é racional se ele pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são números inteiros e
não é zero.
Passo 3
Vamos supor, para entrar na prova por contradição, que
é racional. Ou seja, existe uma fração
, na sua forma mais simples (onde
e
não têm nenhum divisor comum além de 1), que é igual a
.
Então temos:
Passo 4
Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando os dois lados por
, ficamos com:
Isso significa que
é múltiplo de 3, o que implica que
também é múltiplo de 3 (porque o quadrado de um número não múltiplo de 3 não é múltiplo de 3).
Passo 5
Como
é múltiplo de 3, podemos escrever
, onde
é um número inteiro. Substituindo na equação
, temos:
Isso mostra que
também é múltiplo de 3, e, portanto,
é múltiplo de 3.
Passo 6
Chegamos a uma contradição! Inicialmente, assumimos que
estava na forma mais simples, sem divisores comuns além de 1. Mas mostramos que tanto
quanto
são múltiplos de 3, ou seja, têm pelo menos o divisor 3 em comum. Isso não pode acontecer se a fração estava simplificada.
Resposta
Portanto, nossa suposição de que
é racional leva a uma contradição. Logo,
não é um número racional.
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<html><head></head><body><div>Mostre que (b) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.25ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.061ex” height=“2.398ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -949.5 1353 1060”><title>raiz(6)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msqrt”><g transform=“translate(853,0)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“36” d=“M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0,89.5)”><path data-c=“221A” d=“M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z”></path></g><rect width=“500” height=“60” x=“853” y=“829.5”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span> não é um número racional.</div>
</body></html>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.25ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.061ex” height=“2.398ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -949.5 1353 1060”><title>raiz(6)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msqrt”><g transform=“translate(853,0)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“36” d=“M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0,89.5)”><path data-c=“221A” d=“M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z”></path></g><rect width=“500” height=“60” x=“853” y=“829.5”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span> não é um número racional.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Resolva as inequações (b) <span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Reescreva as expressões abaixo sem usar o símbolo de valor absoluto (separe por intervalos) (b) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.756ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“7.686ex” height=“2.642ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 3397 1167.9”><title>|x^2 - 4|</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo”><svg width=“278” height=“1167.9” y=”-333.9” x=“27.5” viewBox=“0 -144.7 278 1167.9”><path data-c=“2223” d=“M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z” transform=“scale(1,1.754)”></path></svg></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(333,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(605,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1563.8,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2564,0)”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3064,0)”><svg width=“278” height=“1167.9” y="-333.9" x=“27.5” viewBox=“0 -144.7 278 1167.9”><path data-c=“2223” d=“M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z” transform=“scale(1,1.754)”></path></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.756ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“7.686ex” height=“2.642ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 3397 1167.9”><title>|x^2 - 4|</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo”><svg width=“278” height=“1167.9” y=”-333.9” x=“27.5” viewBox=“0 -144.7 278 1167.9”><path data-c=“2223” d=“M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z” transform=“scale(1,1.754)”></path></svg></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(333,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(605,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1563.8,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2564,0)”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3064,0)”><svg width=“278” height=“1167.9” y="-333.9" x=“27.5” viewBox=“0 -144.7 278 1167.9”><path data-c=“2223” d=“M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z” transform=“scale(1,1.754)”></path></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
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