Mostre que (a)
não é um número racional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar que
não é um número racional. Isso está ligado ao conteúdo de números racionais e irracionais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um número racional e usar o método da prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um número racional. Um número é racional se ele pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são números inteiros e
não é zero.
Passo 3
Vamos supor, para entrar na prova por contradição, que
é racional. Ou seja, existe uma fração
, na sua forma mais simples (onde
e
não têm nenhum divisor comum além de 1), que é igual a
.
Então temos:
Passo 4
Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando os dois lados por
, ficamos com:
Isso significa que
é múltiplo de 3, o que implica que
também é múltiplo de 3 (porque o quadrado de um número não múltiplo de 3 não é múltiplo de 3).
Passo 5
Como
é múltiplo de 3, podemos escrever
, onde
é um número inteiro. Substituindo na equação
, temos:
Isso mostra que
também é múltiplo de 3, e, portanto,
é múltiplo de 3.
Passo 6
Chegamos a uma contradição! Inicialmente, assumimos que
estava na forma mais simples, sem divisores comuns além de 1. Mas mostramos que tanto
quanto
são múltiplos de 3, ou seja, têm pelo menos o divisor 3 em comum. Isso não pode acontecer se a fração estava simplificada.
Resposta
Portanto, nossa suposição de que
é racional leva a uma contradição. Logo,
não é um número racional.