Mostre que (a) raiz(3) não é um número racional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mostrar que raiz(3) não é um número racional. Isso está ligado ao conteúdo de números racionais e irracionais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um número racional e usar o método da prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um número racional. Um número é racional se ele pode ser escrito como uma fração a/b, onde a e b são números inteiros e b não é zero.

Passo 3

Vamos supor, para entrar na prova por contradição, que raiz(3) é racional. Ou seja, existe uma fração a/b, na sua forma mais simples (onde a e b não têm nenhum divisor comum além de 1), que é igual a raiz(3).
Então temos:

Passo 4

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando os dois lados por , ficamos com:
Isso significa que é múltiplo de 3, o que implica que a também é múltiplo de 3 (porque o quadrado de um número não múltiplo de 3 não é múltiplo de 3).

Passo 5

Como a é múltiplo de 3, podemos escrever , onde k é um número inteiro. Substituindo na equação , temos:
Isso mostra que também é múltiplo de 3, e, portanto, b é múltiplo de 3.

Passo 6

Chegamos a uma contradição! Inicialmente, assumimos que a/b estava na forma mais simples, sem divisores comuns além de 1. Mas mostramos que tanto a quanto b são múltiplos de 3, ou seja, têm pelo menos o divisor 3 em comum. Isso não pode acontecer se a fração estava simplificada.

Resposta

Portanto, nossa suposição de que raiz(3) é racional leva a uma contradição. Logo, raiz(3) não é um número racional.

Exercícios relacionados