Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M= [01-10], então AB=BA.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente mostrar que se as matrizes $ A $ e $ B $ comutam com a matriz $ M = A $, então $ AB = BA $. Para isso, vamos precisar entender como as matrizes se comportam quando comutam com $ M $ e usar propriedades básicas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa que $ A $ e $ B $ comutam com $ M $. Isso quer dizer que:
A
B
Ou seja, ao multiplicar $ A $ ou $ B $ por $ M $ de qualquer ordem, o resultado é o mesmo. Essa propriedade vai nos ajudar a descobrir a forma das matrizes $ A $ e $ B $.

Passo 3

Observando a matriz $ M $, percebemos que ela tem uma propriedade interessante:
M
Então, $ M^2 = -I $, onde $ I $ é a matriz identidade. Essa relação vai ser útil para simplificar nossos cálculos.

Passo 4

Agora, vamos supor que as matrizes $ A $ e $ B $ que comutam com $ M $ possam ser escritas como combinações lineares de $ I $ e $ M $. Ou seja:
A
B
onde $ a, b, c, d $ são números escalares.

Passo 5

Vamos multiplicar $ A $ e $ B $ nessa forma:
A
Usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes, temos:
B

Passo 6

Substituindo $ M^2 $ por $ -I $, que vimos anteriormente:
M^2
Simplificando os termos:
-I

Passo 7

Agora, vamos multiplicar $ B $ e $ A $:
B
Usando a mesma propriedade distributiva:
A
Substituindo $ M^2 $ por $ -I $:
BA = (cI + dM)(aI + bM)
Simplificando:
BA = caI + cbM + daM + dbM^2

Passo 8

Observamos que $ AB $ e $ BA $ resultaram nas mesmas expressões:
AB
BA
Como a multiplicação de escalares é comutativa ($ ac = ca $ e $ bd = db $), concluímos que:
AB = (ac - bd)I + (ad + bc)M

Resposta

Portanto, se $ A $ e $ B $ comutam com a matriz $ M $, então $ AB = BA $.

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