Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M= [01-10], então AB=BA.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente mostrar que se as matrizes $ A $ e $ B $ comutam com a matriz $ M =
$, então $ AB = BA $. Para isso, vamos precisar entender como as matrizes se comportam quando comutam com $ M $ e usar propriedades básicas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa que $ A $ e $ B $ comutam com $ M $. Isso quer dizer que:
Ou seja, ao multiplicar $ A $ ou $ B $ por $ M $ de qualquer ordem, o resultado é o mesmo. Essa propriedade vai nos ajudar a descobrir a forma das matrizes $ A $ e $ B $.
Passo 3
Observando a matriz $ M $, percebemos que ela tem uma propriedade interessante:
Então, $ M^2 = -I $, onde $ I $ é a matriz identidade. Essa relação vai ser útil para simplificar nossos cálculos.
Passo 4
Agora, vamos supor que as matrizes $ A $ e $ B $ que comutam com $ M $ possam ser escritas como combinações lineares de $ I $ e $ M $. Ou seja:
onde $ a, b, c, d $ são números escalares.
Passo 5
Vamos multiplicar $ A $ e $ B $ nessa forma:
Usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes, temos:
Passo 6
Substituindo $ M^2 $ por $ -I $, que vimos anteriormente:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar $ B $ e $ A $:
Usando a mesma propriedade distributiva:
Substituindo $ M^2 $ por $ -I $:
Simplificando:
Passo 8
Observamos que $ AB $ e $ BA $ resultaram nas mesmas expressões:
Como a multiplicação de escalares é comutativa ($ ac = ca $ e $ bd = db $), concluímos que:
Resposta
Portanto, se $ A $ e $ B $ comutam com a matriz $ M $, então $ AB = BA $.