Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 rad, determinar:
a) |(2 u-v) cdot(u-2 v)|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores, que são combinações de outros vetores dados. A gente vai usar conceitos de produto escalar, magnitude de vetores e ângulo entre eles. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e como ele se relaciona com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto escalar. O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) e é dado por:
onde e são as magnitudes dos vetores e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre u cdot v = raiz2 cdot 3 cdot cos(3pi4) e u cdot v = raiz2 cdot 3 cdot (-raiz22) = -3 . Sabemos que , e . Então:
Sabendo que , temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir a expressão (2u - v) cdot (u - 2v) = 2u cdot u - 4u cdot v - v cdot u + 2v cdot v . Usando a propriedade distributiva do produto escalar:
= 2|u|^2 - 5u cdot v + 2|v|^2
Como o produto escalar é comutativo ( ), podemos simplificar:

Passo 5

Vamos substituir os valores que já conhecemos. Sabemos que = 2 cdot 2 - 5 cdot (-3) + 2 cdot 9 = 4 + 15 + 18 = 37 , e . Então:

Resposta

O valor absoluto de é .

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