(Reduzir conjuntos geradores) Sejam v1, ldots, vn vetores de um espaço vetorial V. Prove que, se vn é combinação linear de v1, ldots, vn-1 então [v1, ldots, vn-1]=[v1, ldots, vn].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em um espaço vetorial . A afirmação é que se o último vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores anteriores , então o conjunto formado por gera o mesmo espaço que o conjunto completo . Para provar isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e geração de conjuntos em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um vetor ser combinação linear de outros vetores. Dizemos que vn = a1v1 + a2v2 + ldots + an-1vn-1 é uma combinação linear de se existem escalares tais que:
Isso significa que não adiciona nenhuma “nova direção” ao espaço gerado por .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa que . A notação representa o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores . Então, queremos mostrar que qualquer combinação linear dos vetores pode ser obtida sem usar .

Passo 4

Começamos provando que w = b1v1 + b2v2 + ldots + bnvn . Seja um vetor qualquer w = b1v1 + ldots + bn-1vn-1 + bn(a1v1 + ldots + an-1vn-1) em w = (b1 + bna1)v1 + ldots + (bn-1 + bnan-1)vn-1 . Então, existe escalares tais que:
Mas como , podemos substituir na expressão de :
Simplificando:
Isso mostra que está em .

Passo 5

Em seguida, vemos que é sempre verdadeiro, pois é um subconjunto de (já que estamos adicionando mais vetores).

Passo 6

Com as duas inclusões [v1, ldots, vn-1] = [v1, ldots, vn] e , concluímos que:

Resposta

Portanto, se é combinação linear de , então .

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