(Reduzir conjuntos geradores) Sejam
vetores de um espaço vetorial
. Prove que, se
é combinação linear de
então
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
em um espaço vetorial
. A afirmação é que se o último vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores anteriores
, então o conjunto formado por
gera o mesmo espaço que o conjunto completo
. Para provar isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e geração de conjuntos em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um vetor ser combinação linear de outros vetores. Dizemos que
é uma combinação linear de
se existem escalares
tais que:
Isso significa que
não adiciona nenhuma “nova direção” ao espaço gerado por
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa que
. A notação
representa o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores
. Então, queremos mostrar que qualquer combinação linear dos
vetores pode ser obtida sem usar
.
Passo 4
Começamos provando que
. Seja um vetor qualquer
em
. Então, existe escalares
tais que:
Mas como
, podemos substituir na expressão de
:
Simplificando:
Isso mostra que
está em
.
Passo 5
Em seguida, vemos que
é sempre verdadeiro, pois
é um subconjunto de
(já que estamos adicionando mais vetores).
Passo 6
Com as duas inclusões
e
, concluímos que:
Resposta
Portanto, se
é combinação linear de
, então
.