Mostre que:
Se
então
ou
.
Se
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão envolve teoria dos conjuntos, especificamente as potências de conjuntos. Precisamos mostrar que se um conjunto
pertence à união das potências de
e
, ou seja,
, então
é um subconjunto de
ou
é um subconjunto de
. Para resolver isso, vamos revisar o que são potenciais de conjuntos e a definição de subconjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a potência de um conjunto. A potência de um conjunto
, denotada por
, é o conjunto de todos os subconjuntos de
. Ou seja:
Isso significa que qualquer elemento
em
é, por definição, um subconjunto de
.
Passo 3
Agora, a união de dois conjuntos
e
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos que estão em
ou em
ou em ambos. Portanto, se
, então
pertence a pelo menos uma das potências, ou seja,
ou
.
Passo 4
Se considerarmos que
, pela definição da potência, temos que
. De maneira similar, se
, então
. Portanto, se
está na união das potências, ele deve ser ou um subconjunto de
ou um subconjunto de
.
Passo 5
Vamos formalizar isso:
- Suponha que
. - Então, ou
ou . - Se
, então . - Se
, então . - Portanto,
ou .
Resposta
Assim, mostramos que se
, então
ou
.