Mostre que:
Se C in P(A) ou P(B) então C ⊆ A ou C ⊆ B.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão envolve teoria dos conjuntos, especificamente as potências de conjuntos. Precisamos mostrar que se um conjunto pertence à união das potências de e , ou seja, , então é um subconjunto de ou é um subconjunto de . Para resolver isso, vamos revisar o que são potenciais de conjuntos e a definição de subconjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a potência de um conjunto. A potência de um conjunto , denotada por , é o conjunto de todos os subconjuntos de . Ou seja:
Isso significa que qualquer elemento em é, por definição, um subconjunto de .

Passo 3

Agora, a união de dois conjuntos e , denotada por , é o conjunto de todos os elementos que estão em ou em ou em ambos. Portanto, se , então pertence a pelo menos uma das potências, ou seja, ou .

Passo 4

Se considerarmos que , pela definição da potência, temos que . De maneira similar, se , então . Portanto, se está na união das potências, ele deve ser ou um subconjunto de ou um subconjunto de .

Passo 5

Vamos formalizar isso:
  • Suponha que .
  • Então, ou ou .
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Portanto, ou .

Resposta

Assim, mostramos que se , então ou .

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