Use a integral para encontrar o volume do tronco de pirâmide como base quadrada de lado , topo quadrada de lado e altura . O que acontece com se ? O que acontece se ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um tronco de pirâmide com base quadrada de lado , topo quadrado de lado e altura . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de áreas ao longo da altura da pirâmide. Vamos precisar entender como calcular a área de cada “fatia” da pirâmide e somar todas essas áreas usando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a pirâmide de lado quadrado com base e topo , e altura . Vamos posicionar a pirâmide de forma que a base fique no plano e o topo no plano . Assim, representa a altura ao longo da pirâmide.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir como o lado do quadrado muda à medida que a gente sobe na altura . Como a pirâmide está se afunilando de para ao longo de , podemos usar uma relação linear para expressar o lado do quadrado em qualquer altura :
Essa fórmula mostra que o lado do quadrado diminui ou aumenta proporcionalmente à altura .

Passo 4

Com o lado conhecido, podemos calcular a área do quadrado em cada altura :
Essa é a área de cada “fatia” da pirâmide no ponto .

Passo 5

Para encontrar o volume total da pirâmide, vamos integrar a área desde a base ( ) até o topo ( ):
Essa integral vai somar todas as áreas das “fatiinhas” ao longo da altura .

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, expandimos o quadrado:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Simplificando os termos:

Passo 7

Agora que temos a expressão geral do volume, vamos analisar os dois casos especiais:
  1. Quando :
Se substituirmos na fórmula:
Isso faz sentido porque se , o tronco da pirâmide na verdade é uma pirâmide completa com base e topo de mesmo tamanho, formando basicamente um prisma de altura e área da base . Então, o volume é .
  1. Quando :
Se substituirmos na fórmula:
Isso representa o volume de uma pirâmide completa com base de área e altura , já que o topo tem área zero.

Resposta

O volume do tronco de pirâmide é dado por:
  • Se , o volume se torna , correspondendo ao volume de um prisma.
  • Se , o volume se reduz a , que é o volume de uma pirâmide completa.

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Prove as seguintes afirmações
Se então ou , logo .
Prove as seguintes afirmações
Demonstrar que : se então e , logo .
Mostre que:
Se então ou .
Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau: