Use a integral para encontrar o volume do tronco de pirâmide como base quadrada de lado
, topo quadrada de lado
e altura
. O que acontece com se
? O que acontece se
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um tronco de pirâmide com base quadrada de lado
, topo quadrado de lado
e altura
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de áreas ao longo da altura da pirâmide. Vamos precisar entender como calcular a área de cada “fatia” da pirâmide e somar todas essas áreas usando a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a pirâmide de lado quadrado com base
e topo
, e altura
. Vamos posicionar a pirâmide de forma que a base fique no plano
e o topo no plano
. Assim,
representa a altura ao longo da pirâmide.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir como o lado do quadrado muda à medida que a gente sobe na altura
. Como a pirâmide está se afunilando de
para
ao longo de
, podemos usar uma relação linear para expressar o lado
do quadrado em qualquer altura
:
Essa fórmula mostra que o lado do quadrado diminui ou aumenta proporcionalmente à altura
.
Passo 4
Com o lado
conhecido, podemos calcular a área
do quadrado em cada altura
:
Essa é a área de cada “fatia” da pirâmide no ponto
.
Passo 5
Para encontrar o volume total da pirâmide, vamos integrar a área
desde a base (
) até o topo (
):
Essa integral vai somar todas as áreas das “fatiinhas” ao longo da altura
.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, expandimos o quadrado:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora que temos a expressão geral do volume, vamos analisar os dois casos especiais:
- Quando
:
Se substituirmos
na fórmula:
Isso faz sentido porque se
, o tronco da pirâmide na verdade é uma pirâmide completa com base e topo de mesmo tamanho, formando basicamente um prisma de altura
e área da base
. Então, o volume é
.
- Quando
:
Se substituirmos
na fórmula:
Isso representa o volume de uma pirâmide completa com base de área
e altura
, já que o topo tem área zero.
Resposta
O volume do tronco de pirâmide é dado por:
- Se
, o volume se torna , correspondendo ao volume de um prisma. - Se
, o volume se reduz a , que é o volume de uma pirâmide completa.
Exercícios relacionados
Prove as seguintes afirmações
Se então
ou
, logo
.
Se
Prove as seguintes afirmações
Demonstrar que : se
então
e
, logo
.
Demonstrar que
Mostre que:
Se então
ou
.
Se
Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau: