Mostre que cada uma das equações abaixo é homogênea, em seguida resolva-as:
d y / d t = (t^2 - 3 y^2) / (2 t y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
Primeiro, a gente precisa mostrar que essa equação é homogênea. Depois, vamos resolver ela usando técnicas de equações homogêneas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como aplicar uma substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial é chamada de homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos e . No nosso caso, vamos verificar isso.
Na equação:
Observamos que o numerador tem termos de segundo grau (já que e ). O denominador também é de segundo grau (produto de e ). Como todos os termos são do mesmo grau, a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos usar uma substituição para facilitar a resolução. A substituição comum para equações homogêneas é:
Isso significa que . Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando, temos:
Vamos isolar :
Então:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis e :
Vamos reorganizar para integrar:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , , então:
Multiplicando ambos os lados por -5:
Onde , então:
Lembrando que :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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