Mostre que cada uma das equações abaixo é homogênea, em seguida resolva-as:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
Primeiro, a gente precisa mostrar que essa equação é homogênea. Depois, vamos resolver ela usando técnicas de equações homogêneas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como aplicar uma substituição para facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial é chamada de homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
e
. No nosso caso, vamos verificar isso.
Na equação:
Observamos que o numerador
tem termos de segundo grau (já que
e
). O denominador
também é de segundo grau (produto de
e
). Como todos os termos são do mesmo grau, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos usar uma substituição para facilitar a resolução. A substituição comum para equações homogêneas é:
Isso significa que
. Vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando, temos:
Vamos isolar
:
Então:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Vamos reorganizar para integrar:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
,
, então:
Multiplicando ambos os lados por -5:
Onde
, então:
Lembrando que
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.