Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
y' = a*y - b*y^3, a > 0, b > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial , onde e . Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias na matéria de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar os dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis e . A equação dada é:
Nosso objetivo é colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado da equação.

Passo 3

Para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por . Assim, temos:
Agora, todas as variáveis estão de um lado e do outro, o que nos permite integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é simplesmente:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos fatorar o denominador:
Agora, usamos frações parciais para decompor essa expressão:
Resolvendo para e , encontramos e . Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Resposta

Resolvendo para , a solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração. Essa função descreve como varia em relação a conforme a equação diferencial original.

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