Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
, onde
e
. Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias na matéria de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar os dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis
e
. A equação dada é:
Nosso objetivo é colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado da equação.
Passo 3
Para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
. Assim, temos:
Agora, todas as variáveis
estão de um lado e
do outro, o que nos permite integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é simplesmente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos fatorar o denominador:
Agora, usamos frações parciais para decompor essa expressão:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
. Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Resposta
Resolvendo para
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração. Essa função descreve como
varia em relação a
conforme a equação diferencial original.