Usando as propriedades adequadas, faça a expansão das expressões a seguir de forma a reduzi-las a produtos e somas de expressões elementares (que não podem mais ser simplificadas).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandir a expressão
usando propriedades dos logaritmos. A matéria que vamos usar aqui são as propriedades dos logaritmos, que nos ajudam a simplificar expressões logarítmicas complexas em partes mais simples. Vamos precisar aplicar as propriedades de logaritmo de quociente, produto e potência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da propriedade do logaritmo do quociente:
. Isso vai nos ajudar a separar a fração dentro do logaritmo.
Aplicando essa propriedade:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte
. Aqui, vamos usar a propriedade do logaritmo do produto:
.
Aplicando essa propriedade:
Passo 4
Continuando, vamos simplificar cada termo separadamente. Primeiro, para
, usamos a propriedade da potência do logaritmo:
.
Então:
Passo 5
Para o segundo termo
, lembramos que
é o mesmo que
. Aplicando novamente a propriedade da potência:
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo. Substituindo os valores que encontramos de volta na expressão: