Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
com duas operações definidas: uma para “adição” (
) e outra para “multiplicação por escalar” (
). O objetivo é mostrar que, com essas operações,
não forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar o que são os axiomários de um espaço vetorial e verificar se todos eles estão sendo respeitados com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) é um conjunto de vetores onde são definidas duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares. Essas operações precisam satisfazer certos axiomas para que o conjunto seja considerado um espaço vetorial. Alguns desses axiomas são a existência de um elemento neutro para a adição, a existência de inversos aditivos, a comutatividade e associatividade da adição, entre outros.
Passo 3
Vamos começar verificando o axioma do elemento neutro para a adição. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor zero tal que, para qualquer vetor
, a operação
seja verdadeira.
Com a definição dada:
Queremos encontrar um vetor
tal que:
Para que isso seja verdade para todo
, precisamos que
e
. Ou seja, o elemento neutro seria
.
Passo 4
Agora, vamos verificar o axioma dos inversos aditivos. Em um espaço vetorial, para cada vetor
, deve existir um vetor
tal que:
Com nossa operação:
Isso implica que:
Então, os inversos seriam
e
. Mas aqui está o problema: se
ou
, não conseguimos definir
ou
porque não dá para dividir por zero.
Passo 5
Esse problema mostra que nem todo vetor em
tem um inverso aditivo com a operação
definida. Especificamente, vetores como
ou
não possuem inversos aditivos nesse sistema. Isso viola um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial, que exige que todo vetor tenha um inverso aditivo.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto
não é um espaço vetorial, já que nem todo vetor possui um inverso aditivo com as operações definidas.
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Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Mostre, em cada item abaixo, que
não é um espaço vetorial.
e
.
Seja
um espaço vetorial e
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que o subconjunto de
dado por
em que
e
também é um subespaço vetorial de
. Além disso, mostre que
é o menor subespaço de
que contém os subespaços
e
. O subespaço vetorial
é chamado a soma dos subespaços
e
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.