Mostre, em cada item abaixo, que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1 x2, y1 y2) e m odot(x1, y1)=(m x1, m y1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto R^2 com duas operações definidas: uma para “adição” ( oplus) e outra para “multiplicação por escalar” ( odot). O objetivo é mostrar que, com essas operações, R^2 não forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar o que são os axiomários de um espaço vetorial e verificar se todos eles estão sendo respeitados com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) é um conjunto de vetores onde são definidas duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares. Essas operações precisam satisfazer certos axiomas para que o conjunto seja considerado um espaço vetorial. Alguns desses axiomas são a existência de um elemento neutro para a adição, a existência de inversos aditivos, a comutatividade e associatividade da adição, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando o axioma do elemento neutro para a adição. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor zero tal que, para qualquer vetor v, a operação v oplus 0 = v seja verdadeira.
Com a definição dada:
(x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 times x2, y1 times y2)
Queremos encontrar um vetor (e1, e2) tal que:
(x, y) oplus (e1, e2) = (x times e1, y times e2) = (x, y)
Para que isso seja verdade para todo (x, y), precisamos que e1 = 1 e e2 = 1. Ou seja, o elemento neutro seria (1, 1).

Passo 4

Agora, vamos verificar o axioma dos inversos aditivos. Em um espaço vetorial, para cada vetor v, deve existir um vetor -v tal que:
v oplus -v = 0
Com nossa operação:
(x, y) oplus (x', y') = (x times x', y times y') = (1, 1)
Isso implica que:
x times x' = 1 e y times y' = 1
Então, os inversos seriam x' = 1x e y' = 1y. Mas aqui está o problema: se x = 0 ou y = 0, não conseguimos definir x' ou y' porque não dá para dividir por zero.

Passo 5

Esse problema mostra que nem todo vetor em R^2 tem um inverso aditivo com a operação oplus definida. Especificamente, vetores como (0, y) ou (x, 0) não possuem inversos aditivos nesse sistema. Isso viola um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial, que exige que todo vetor tenha um inverso aditivo.

Resposta

Portanto, concluímos que o conjunto (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial, já que nem todo vetor possui um inverso aditivo com as operações definidas.

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Mostre, em cada item abaixo, que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (x1, y1) oplus(x2, y2)=(0,0) e m odot(x1, y1)=(m x1, m y1).
Mostre, em cada item abaixo, que (R^2, oplus, odot) não é um espaço vetorial. (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e m odot(x1, y1)=(x1, y1).
Seja V um espaço vetorial e U e W subespaços vetoriais de V. Mostre que o subconjunto de V dado por U+W=v in V mid v=u+w em que u in U e w in W também é um subespaço vetorial de V. Além disso, mostre que U+W é o menor subespaço de V que contém os subespaços U e W. O subespaço vetorial U+W é chamado a soma dos subespaços U e W.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=(x, y, z) in R^3 mid x cdot y=0.