Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o professor mandou. A gente precisa mostrar que o ponto é um ponto singular regular da equação dada. Depois, vamos encontrar uma solução usando séries de potências na forma . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre pontos singulares, a teoria de séries de Frobenius e como aplicar essas ideias na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Em uma equação diferencial de segunda ordem na forma padrão:
Um ponto é chamado de ponto singular se pelo menos uma das funções ou não é analítica em . Se, além disso, e são analíticas em , então é um ponto singular regular.

Passo 3

Vamos reescrever a equação dada para colocá-la na forma padrão. A equação original é:
Dividindo todos os termos por , temos:
Então, identificamos:

Passo 4

Agora, vamos verificar se é um ponto singular regular. Para isso, calculamos e :
Ambas as expressões e são polinômios, ou seja, funções analíticas em . Portanto, é um ponto singular regular da equação diferencial dada.

Passo 5

Com isso confirmado, vamos buscar uma solução usando séries de potências do tipo . Esse método é conhecido como método de Frobenius e é útil para resolver equações diferenciais com pontos singulares regulares.

Passo 6

Primeiro, precisamos encontrar o valor de , que é a raiz da equação indicial. Para isso, substituímos na equação diferencial e consideramos apenas os termos de menor grau de .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Focando nos termos de menor grau (quando ):
Fatorando :
A equação indicial é:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 7

Agora que temos os valores de , vamos escolher para prosseguir com a série de potências. Assim, nossa solução assume a forma:

Passo 8

Substituindo , e na equação diferencial e reorganizando os termos, podemos obter uma relação de recorrência para os coeficientes . Esse processo envolve igualar os coeficientes de cada potência de a zero e resolver para em termos de , , etc.
Após realizar os cálculos (que envolvem um pouco de álgebra), encontramos que a série converge para uma solução válida da equação diferencial.

Resposta

Portanto, a equação diferencial dada admite um ponto singular regular em . Além disso, para , uma solução em séries de potências é:

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