Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o professor mandou. A gente precisa mostrar que o ponto
é um ponto singular regular da equação dada. Depois, vamos encontrar uma solução usando séries de potências na forma
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre pontos singulares, a teoria de séries de Frobenius e como aplicar essas ideias na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Em uma equação diferencial de segunda ordem na forma padrão:
Um ponto
é chamado de ponto singular se pelo menos uma das funções
ou
não é analítica em
. Se, além disso,
e
são analíticas em
, então
é um ponto singular regular.
Passo 3
Vamos reescrever a equação dada para colocá-la na forma padrão. A equação original é:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Então, identificamos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é um ponto singular regular. Para isso, calculamos
e
:
Ambas as expressões
e
são polinômios, ou seja, funções analíticas em
. Portanto,
é um ponto singular regular da equação diferencial dada.
Passo 5
Com isso confirmado, vamos buscar uma solução usando séries de potências do tipo
. Esse método é conhecido como método de Frobenius e é útil para resolver equações diferenciais com pontos singulares regulares.
Passo 6
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
, que é a raiz da equação indicial. Para isso, substituímos
na equação diferencial e consideramos apenas os termos de menor grau de
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Focando nos termos de menor grau (quando
):
Fatorando
:
A equação indicial é:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos escolher
para prosseguir com a série de potências. Assim, nossa solução assume a forma:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação diferencial e reorganizando os termos, podemos obter uma relação de recorrência para os coeficientes
. Esse processo envolve igualar os coeficientes de cada potência de
a zero e resolver para
em termos de
,
, etc.
Após realizar os cálculos (que envolvem um pouco de álgebra), encontramos que a série converge para uma solução válida da equação diferencial.
Resposta
Portanto, a equação diferencial dada admite um ponto singular regular em
. Além disso, para
, uma solução em séries de potências é:
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