Verifique que o campo vetorial é um campo conservativo em e calcule ao longo de qualquer caminho de até .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por e precisa verificar se ele é um campo conservativo no espaço tridimensional . Depois disso, temos que calcular a integral de linha desse campo ao longo de qualquer caminho que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos, cálculo vetorial e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, ou seja, . Uma das características principais de campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho, apenas dos pontos iniciais e finais.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, uma maneira é calcular o rotacional ( ) e ver se ele é igual a zero. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então o campo é conservativo.
Vamos calcular o rotacional de :
Calculando as derivadas parciais:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, . Como o rotacional é zero, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que . Isso facilita o cálculo da integral de linha, já que:
Vamos encontrar :
Sabemos que:
Integrando em relação a :
Agora, olhando para a componente :
Derivando em relação a :
Integrando em relação a :
Portanto,
Agora, olhando para a componente :
Comparando com o campo original:
Então, é uma constante, que podemos considerar como zero sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha de até usando a função potencial :
Calculando :
Calculando :
Então:

Resposta

A integral de linha é .

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