Verifique que o campo vetorial f=sen x i-2 y z j-y^2 k é um campo conservativo em R^3 e calcule integralC f cdot d r ao longo de qualquer caminho C de A(0,2,0) até B(2,2,4).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por e precisa verificar se ele é um campo conservativo no espaço tridimensional . Depois disso, temos que calcular a integral de linha desse campo ao longo de qualquer caminho que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos, cálculo vetorial e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, ou seja, . Uma das características principais de campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho, apenas dos pontos iniciais e finais.

Passo 3

Para verificar se nabla times f = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z sen x & -2 y z & -y^2 é conservativo, uma maneira é calcular o rotacional ( partial (-y^2)partial y - partial (-2 y z)partial z = (-2y) - (-2y) = 0 ) e ver se ele é igual a zero. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então o campo é conservativo.
Vamos calcular o rotacional de partial sen xpartial z - partial (-y^2)partial x = 0 - 0 = 0 :
partial (-2 y z)partial x - partial sen xpartial y = 0 - 0 = 0
Calculando as derivadas parciais:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, . Como o rotacional é zero, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que integralC f cdot dr = phi(B) - phi(A) é conservativo, podemos encontrar uma função potencial partial phipartial x = sen x tal que phi(x,y,z) = -cos x + g(y,z) . Isso facilita o cálculo da integral de linha, já que:
partial phipartial y = -2 y z
Vamos encontrar partialpartial y (-cos x + g(y,z)) = partial gpartial y = -2 y z :
Sabemos que:
g(y,z) = -y^2 z + h(z)
Integrando em relação a partial phipartial z = -y^2 = -y^2 :
partial phipartial z = -y^2 Rightarrow h'(z) = 0
Agora, olhando para a componente phi(x,y,z) = -cos x - y^2 z :
Derivando em relação a :
Integrando em relação a :
Portanto,
Agora, olhando para a componente :
Comparando com o campo original:
Então, é uma constante, que podemos considerar como zero sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha de integralC f cdot dr = phi(B) - phi(A) até phi(0,2,0) = -cos(0) - (2)^2 cdot 0 = -1 - 0 = -1 usando a função potencial phi(2,2,4) = -cos(2) - (2)^2 cdot 4 = -cos(2) - 16 :
integralC f cdot dr = (-cos(2) - 16) - (-1) = -cos(2) - 15
Calculando :
Calculando :
Então:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados