Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem:
A matéria que vamos usar aqui envolve diferenciais e integração usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, vamos integrar o lado direito da equação para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão que precisamos integrar para deixar mais fácil de trabalhar:
Podemos simplificar isso usando identidades trigonométricas. Sabemos que e . Então, podemos reescrever a fração assim:

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar . Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Não vemos um termo no nosso integrando original, então essa substituição não é direta. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos voltar à expressão original:
Podemos reescrever isso como:
Isso se parece com a derivada de uma função envolvendo . Sabemos que:
Ainda não temos um para combinar, então precisamos de outra estratégia.

Passo 5

Vamos tentar integrar diretamente a expressão original:
Podemos observar que a derivada de é:
Percebemos que se multiplicarmos nossa integral por , obteremos a função original. Porém, isso sugere que precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos considerar que a equação diferencial é:
Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa integral:
Vamos fazer uma substituição inteligente. Observe que:
Isso nos dá uma pista. Podemos escrever nossa integral como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
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Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: