Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem:
A matéria que vamos usar aqui envolve diferenciais e integração usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, vamos integrar o lado direito da equação para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão que precisamos integrar para deixar mais fácil de trabalhar:
Podemos simplificar isso usando identidades trigonométricas. Sabemos que
e
. Então, podemos reescrever a fração assim:
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
. Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Não vemos um termo
no nosso integrando original, então essa substituição não é direta. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos voltar à expressão original:
Podemos reescrever isso como:
Isso se parece com a derivada de uma função envolvendo
. Sabemos que:
Ainda não temos um
para combinar, então precisamos de outra estratégia.
Passo 5
Vamos tentar integrar diretamente a expressão original:
Podemos observar que a derivada de
é:
Percebemos que se multiplicarmos nossa integral por
, obteremos a função original. Porém, isso sugere que precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos considerar que a equação diferencial é:
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa integral:
Vamos fazer uma substituição inteligente. Observe que:
Isso nos dá uma pista. Podemos escrever nossa integral como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: