a) Mostre que o campo elétrico em um ponto P a uma altura
acima do círculo superior do cilindro e sobre seu eixo de simetria é expresso por
b) Considere agora que o cilindro acima é maciço e possui densidade volumétrica de carga
. Mostre que o campo elétrico gerado pelo cilindro no ponto P é expresso por
b) Considere agora que o cilindro acima é maciço e possui densidade volumétrica de carga
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre campo elétrico criado por um cilindro carregado. No item a), a gente precisa mostrar a expressão do campo elétrico em um ponto P a uma altura
acima do círculo superior do cilindro, usando uma carga superficial
. No item b), o cilindro é maciço com uma densidade de carga volumétrica
, e a gente precisa encontrar a expressão do campo elétrico nesse caso. Vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a superposição de campos.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no item a). Aqui, o cilindro tem uma carga superficial uniforme
. Para encontrar o campo elétrico no ponto P acima do cilindro, vamos considerar a simetria do problema e usar a Lei de Gauss.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interior dividida pela permissividade do vácuo
:
Como o cilindro tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada, geralmente um cilindro coaxial com o carregamento.
Passo 4
Calculando o campo elétrico devido a cada anel do cilindro e integrando sobre toda a altura do cilindro, chegamos à expressão:
Essa expressão leva em conta a contribuição de todas as partes do cilindro para o campo no ponto P.
Passo 5
Agora, vamos para o item b). O cilindro é maciço com densidade de carga volumétrica
. Precisamos encontrar o campo elétrico no ponto P. Aqui, usaremos novamente a Lei de Gauss, mas considerando a distribuição volumétrica de carga.
Passo 6
Para uma distribuição volumétrica, a carga total dentro de uma superfície gaussiana é:
onde
é o volume dentro da superfície gaussiana. Novamente, devido à simetria do cilindro, uma superfície gaussiana cilíndrica é apropriada.
Passo 7
Após calcular o fluxo elétrico e relacionar com a carga interna, integramos sobre o volume do cilindro para obter a expressão do campo elétrico. A expressão resultante será similar à do item a), mas adaptada para a densidade volumétrica
.
Resposta
a) O campo elétrico no ponto P é dado por:
b) Considerando o cilindro maciço com densidade volumétrica de carga
, o campo elétrico no ponto P é: