Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral sen(2 x) raiz2-cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral . O conteúdo aqui envolve integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar substituir parte da expressão por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída. Observando a expressão , podemos escolher . Isso vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = 2 - cos(2x) dudx = 2 sin(2x) Rightarrow du = 2 sin(2x) , dx Rightarrow sin(2x) , dx = du2 em relação a para encontrar .

Passo 4

Substituímos na integral original usando integral sin(2x) raiz2 - cos(2x) , dx = integral du2 raizu = 12 integral u^1/2 , du e :

Passo 5

Agora, calculamos a integral de 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot u^3/232 + C = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C :

Passo 6

Finalmente, relembramos que 13 (2 - cos(2x))^3/2 + C e substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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