Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
, onde
é o arco do círculo
no primeiro quadrante, do ponto
ao
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O problema é o seguinte:
onde
é o arco do círculo
no primeiro quadrante, indo do ponto
até
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva
fechada e orientada positivamente,
onde
é a região delimitada por
, e
e
são funções de
e
.
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Mas aí temos um probleminha: o Teorema de Green precisa que
seja uma curva fechada. No enunciado,
é só um arco do círculo, não está fechada. Então, para aplicar o teorema, vamos criar uma curva fechada adicionando um caminho de volta.
Vamos chamar o arco do círculo de
(de
a
) e o caminho reto de
(de
de volta para
). Assim, a curva fechada
.
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green à curva fechada
:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o integrando fica:
Passo 5
Agora, a integral dupla fica:
Vamos calcular essa integral sobre a região
, que é o setor do círculo no primeiro quadrante. Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um círculo.
Em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
.
Nosso círculo tem raio 2, então
varia de 0 a 2, e no primeiro quadrante,
varia de 0 a
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral em relação a
:
Então, a integral dupla é
.
Passo 8
Lembrando que:
Mas nosso objetivo é encontrar a integral no arco
, então precisamos considerar a contribuição do caminho
.
Passo 9
A integral fechada é a soma das integrais em
e
:
Queremos a integral em
, então temos:
Passo 10
Vamos calcular
. O caminho
é a reta de
para
.
Podemos parametrizar essa reta como:
Derivando:
Substituindo na integral:
Passo 11
Vamos simplificar:
Passo 12
Agora, voltando à equação:
Mas como a integral original vai do ponto
até
, o valor final é:
Resposta
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, onde
é a curva indicada:
.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
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é a curva indicada:
; onde
é qualquer curva ligando
a
.