Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada: integralC 3 x y d x+2 y^2 d y, onde C é o arco do círculo x^2+y^2=4 no primeiro quadrante, do ponto (0,2) ao (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O problema é o seguinte:
integralC 3xy , dx + 2y^2 , dy
onde é o arco do círculo no primeiro quadrante, indo do ponto até .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA fechada e orientada positivamente,
onde é a região delimitada por , e e são funções de e .
No nosso caso, e .

Passo 3

Mas aí temos um probleminha: o Teorema de Green precisa que seja uma curva fechada. No enunciado, é só um arco do círculo, não está fechada. Então, para aplicar o teorema, vamos criar uma curva fechada adicionando um caminho de volta.
Vamos chamar o arco do círculo de (de a ) e o caminho reto de (de de volta para ). Assim, a curva fechada .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green à curva fechada ointC 3xy , dx + 2y^2 , dy = integral duplaD ( partial (2y^2)partial x - partial (3xy)partial y ) , dA :
partial (2y^2)partial x = 0
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial (3xy)partial y = 3x
0 - 3x = -3x
Então, o integrando fica:

Passo 5

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD -3x , dA
Vamos calcular essa integral sobre a região , que é o setor do círculo no primeiro quadrante. Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um círculo.
Em coordenadas polares, e , e o elemento de área .
Nosso círculo tem raio 2, então varia de 0 a 2, e no primeiro quadrante, varia de 0 a .

Passo 6

Substituindo na integral:
integral duplaD -3x , dA = integral0^pi2 integral0^2 -3(rcostheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^2 -3r^2costheta , dr , dtheta
Vamos integrar primeiro em relação a integral0^2 -3r^2costheta , dr = -3costheta [ r^33 ]0^2 = -3costheta ( 83 ) = -8costheta :

Passo 7

Agora, a integral em relação a integral0^pi2 -8costheta , dtheta = -8 [ sintheta ]0^pi2 = -8(sin(pi2) - sin(0)) = -8(1 - 0) = -8 :
Então, a integral dupla é .

Passo 8

Lembrando que:
ointC 3xy , dx + 2y^2 , dy = integral duplaD -3x , dA = -8
Mas nosso objetivo é encontrar a integral no arco , então precisamos considerar a contribuição do caminho .

Passo 9

A integral fechada é a soma das integrais em ointC = integralC1 + integralC2 = -8 e integralC1 = ointC - integralC2 = -8 - integralC2 :
Queremos a integral em , então temos:

Passo 10

Vamos calcular x = 2 - 2t, y = 2t, t in [0,1] . O caminho dx = -2 , dt, dy = 2 , dt é a reta de integral0^1 [ 3(2-2t)(2t)(-2) + 2(2t)^2(2) ] dt para .
Podemos parametrizar essa reta como:
Derivando:
Substituindo na integral:

Passo 11

Vamos simplificar:
= integral0^1 [ -12t(2-2t) + 16t^2 ] dt
= integral0^1 [ -24t + 24t^2 + 16t^2 ] dt
= integral0^1 [ -24t + 40t^2 ] dt
= [ -12t^2 + 403t^3 ]0^1 = -12 + 403 = -36 + 403 = 43

Passo 12

Agora, voltando à equação:
integralC1 = -8 - 43 = -283
Mas como a integral original vai do ponto até , o valor final é:

Resposta

integralC 3xy , dx + 2y^2 , dy = -283

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