Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada: , onde é o arco do círculo no primeiro quadrante, do ponto ao .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O problema é o seguinte:
onde é o arco do círculo no primeiro quadrante, indo do ponto até .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada e orientada positivamente,
onde é a região delimitada por , e e são funções de e .
No nosso caso, e .

Passo 3

Mas aí temos um probleminha: o Teorema de Green precisa que seja uma curva fechada. No enunciado, é só um arco do círculo, não está fechada. Então, para aplicar o teorema, vamos criar uma curva fechada adicionando um caminho de volta.
Vamos chamar o arco do círculo de (de a ) e o caminho reto de (de de volta para ). Assim, a curva fechada .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green à curva fechada :
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o integrando fica:

Passo 5

Agora, a integral dupla fica:
Vamos calcular essa integral sobre a região , que é o setor do círculo no primeiro quadrante. Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um círculo.
Em coordenadas polares, e , e o elemento de área .
Nosso círculo tem raio 2, então varia de 0 a 2, e no primeiro quadrante, varia de 0 a .

Passo 6

Substituindo na integral:
Vamos integrar primeiro em relação a :

Passo 7

Agora, a integral em relação a :
Então, a integral dupla é .

Passo 8

Lembrando que:
Mas nosso objetivo é encontrar a integral no arco , então precisamos considerar a contribuição do caminho .

Passo 9

A integral fechada é a soma das integrais em e :
Queremos a integral em , então temos:

Passo 10

Vamos calcular . O caminho é a reta de para .
Podemos parametrizar essa reta como:
Derivando:
Substituindo na integral:

Passo 11

Vamos simplificar:

Passo 12

Agora, voltando à equação:
Mas como a integral original vai do ponto até , o valor final é:

Resposta

Exercícios relacionados

Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: .
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: ; onde é qualquer curva ligando a .