Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição de variáveis. Esse método é útil quando a integral contém uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz no denominador. Observando a expressão , uma boa escolha é definir . Assim, a ideia é transformar o denominador em , facilitando a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando:
Isso implica que:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Mas sabemos que , então podemos resolver para :

Passo 5

Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Considere a funçāo .
(a) Calcule c
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: ; onde é arco da hiperbóle de .
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
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