Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral x^3raiz1-2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição de variáveis. Esse método é útil quando a integral contém uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz no denominador. Observando a expressão , uma boa escolha é definir . Assim, a ideia é transformar o denominador em , facilitando a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -4x em relação a du = -4x , dx Rightarrow dx = -du4x para substituir na integral. Calculando:
Isso implica que:

Passo 4

Vamos substituir integral x^3raiz1 - 2x^2 , dx = integral x^3raizu (-du4x) = -14 integral x^2raizu , du e x^2 = 1 - u2 na integral original:
Mas sabemos que , então podemos resolver para :

Passo 5

Substituindo -14 integral 1 - u2raizu , du = -18 integral 1 - uraizu , du = -18 integral ( u^-1/2 - u^1/2 ) , du na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
-18 ( integral u^-1/2 , du - integral u^1/2 , du ) = -18 ( 2u^1/2 - 23u^3/2 ) + C
Simplificando:
-18 cdot 2u^1/2 + 18 cdot 23u^3/2 + C = -14raizu + 112u^3/2 + C

Passo 7

Agora, substituímos de volta -14raiz1 - 2x^2 + 112(1 - 2x^2)^3/2 + C :

Resposta

A integral integral x^3raiz1-2 x^2 , dx = -14raiz1 - 2x^2 + 112(1 - 2x^2)^3/2 + C é igual a , onde é a constante de integração.

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