Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição de variáveis. Esse método é útil quando a integral contém uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável
para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz no denominador. Observando a expressão
, uma boa escolha é definir
. Assim, a ideia é transformar o denominador em
, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando:
Isso implica que:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Mas sabemos que
, então podemos resolver para
:
Passo 5
Substituindo
na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Considere a funçāo
.
(a) Calcule c
(a) Calcule
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é arco da hiperbóle
de
.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: