Mostre que, se um campo vetorial F=P i+Q j+R k é conservativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
partial Ppartial y=partial Qpartial x partial Ppartial z=partial Rpartial x partial Qpartial z=partial Rpartial y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que, se temos um campo vetorial que é conservativo, e as funções , e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então certas igualdades entre essas derivadas parciais devem valer. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial F = nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j + ( partial phipartial z ) k é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar , ou seja:
Isso significa que , e .

Passo 3

Agora, vamos explorar as relações entre as derivadas parciais de partial^2 phipartial y partial x = partial^2 phipartial x partial y , partial Ppartial y = partial Qpartial x e . Como , e são derivadas parciais de , podemos aplicar a igualdade das derivadas mistas de . Isso quer dizer que:
Isso implica que:
Similarmente, podemos fazer o mesmo para as outras combinações de derivadas parciais.

Passo 4

Aplicando essa lógica para as outras componentes, temos:
partial Ppartial z = partial Rpartial x
e
partial Qpartial z = partial Rpartial y
Essas igualdades confirmam que as derivadas parciais cruzadas de , e são iguais quando o campo é conservativo e as derivadas são contínuas.

Resposta

Portanto, mostramos que se partial Ppartial y = partial Qpartial x, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial z = partial Rpartial y é um campo vetorial conservativo com derivadas parciais contínuas de primeira ordem, então:

Exercícios relacionados

Considere a função dada por f(x, y) = (2x + y) / y. Calcule: f(-6, 6)
Considere a função dada por f(x, y) = (2x + y) / y. Calcule: f(8,9)
Considere a função dada por f(x, y) = (2x + y) / y. Calcule: f(a, a) (a ≠ 0)
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(d) r = 1 + 4 cos(t) / 5.