que , onde .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o supremo do conjunto é igual a 4. Esse problema está relacionado ao conceito de supremo em Análise Matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos numéricos. Para resolver, vamos precisar entender a definição de supremo e como aplicá-la a conjuntos abertos como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o supremo de um conjunto. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Em símbolos, é o menor tal que para todo .

Passo 3

Agora, observamos o conjunto . Esse é um intervalo aberto, o que significa que ele inclui todos os números entre 0 e 4, mas não inclui os próprios extremos 0 e 4.

Passo 4

Vamos verificar se 4 é realmente o supremo de . Primeiro, precisamos ver se 4 é um limite superior de . Ou seja, todos os elementos de são menores ou iguais a 4. Como vai até, mas não inclui, 4, isso é verdade.

Passo 5

Agora, precisamos garantir que 4 seja o menor limite superior. Suponha que exista algum número menor que 4 que também seja um limite superior de . Vamos chamar esse número de , onde .

Passo 6

Mas se , podemos encontrar um número em , digamos , que está entre e 4. Esse pertence a e é maior que , o que contradiz a suposição de que é um limite superior. Portanto, não existe nenhum limite superior menor que 4.

Resposta

Assim, concluímos que .

Exercícios relacionados

Prove que se , para todo , então .
Prove que, para todo ,
Mostre que , onde .
Seja e . Mostre que .