Seja
e
uma relação em
que é reflexiva, simétrica e antissimétrica. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um conjunto
que não é vazio e uma relação
em
que é reflexiva, simétrica e antissimétrica. Nosso objetivo é provar que
é igual à relação identidade
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam essas propriedades de reflexividade, simetria e antissimetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação reflexiva. Uma relação
é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
,
. Isso garante que cada elemento “reflete” sobre si mesmo na relação.
Passo 3
Agora, a simetria. Uma relação
é simétrica se, sempre que
, então
também. Basicamente, se
está relacionado com
, então
também está relacionado com
.
Passo 4
Depois, temos a antissimetria. Uma relação
é antissimétrica se, sempre que
e
, então
. Isso significa que, se dois elementos se relacionam mutuamente, eles na verdade são o mesmo elemento.
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo isso para mostrar que
. Sabemos que
é a relação identidade, que só relaciona cada elemento consigo mesmo, ou seja,
.
Passo 6
Como
é reflexiva, todos os pares
estão em
. Isso já garante que
. Mas queremos provar que não tem mais nada em
além desses pares.
Passo 7
Suponha que exista um par
com
. Como
é simétrica, então
. Mas
também é antissimétrica, então, pelo que vimos,
, o que é uma contradição, já que assumimos que
.
Passo 8
Essa contradição indica que não pode existir nenhum par
com
. Portanto,
só contém os pares da forma
, o que significa que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
De quantas maneiras podemos posicionar 8 torres em um tabuleiro de xadrez sem que duas torres se ataquem?
Mostre que:
Seja
. Dê exemplo de uma relação
em
tal que:
é transitiva, simétrica e reflexiva;
Considerando os conjuntos
e
determine os seguintes conjuntos e as suas cardinalidades:
;