Seja e uma relação em que é reflexiva, simétrica e antissimétrica. Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um conjunto que não é vazio e uma relação em que é reflexiva, simétrica e antissimétrica. Nosso objetivo é provar que é igual à relação identidade . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam essas propriedades de reflexividade, simetria e antissimetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo , . Isso garante que cada elemento “reflete” sobre si mesmo na relação.

Passo 3

Agora, a simetria. Uma relação é simétrica se, sempre que , então também. Basicamente, se está relacionado com , então também está relacionado com .

Passo 4

Depois, temos a antissimetria. Uma relação é antissimétrica se, sempre que e , então . Isso significa que, se dois elementos se relacionam mutuamente, eles na verdade são o mesmo elemento.

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo isso para mostrar que . Sabemos que é a relação identidade, que só relaciona cada elemento consigo mesmo, ou seja, .

Passo 6

Como é reflexiva, todos os pares estão em . Isso já garante que . Mas queremos provar que não tem mais nada em além desses pares.

Passo 7

Suponha que exista um par com . Como é simétrica, então . Mas também é antissimétrica, então, pelo que vimos, , o que é uma contradição, já que assumimos que .

Passo 8

Essa contradição indica que não pode existir nenhum par com . Portanto, só contém os pares da forma , o que significa que .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Seja . Dê exemplo de uma relação em tal que: é transitiva, simétrica e reflexiva;
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