(a) Mostre que chi = phi + psi satisfaz
y' + a y = b1(x) + b2(x)
em I.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão nos dá uma equação diferencial da forma:
E nos pede para mostrar que a soma de duas funções, χ = φ + ψ, satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e propriedades das soluções dessas equações.

Passo 2

Sabemos que φ e ψ são soluções de equações diferenciais separadas. Ou seja, φ satisfaz:
E ψ satisfaz:
Essas duas equações nos dizem como φ e ψ se comportam individualmente em relação à equação diferencial dada.

Passo 3

Agora, queremos provar que χ = φ + ψ também satisfaz uma equação diferencial semelhante, mas com a soma dos termos do lado direito:
Para isso, vamos calcular o derivado de χ e substituir na equação.

Passo 4

Calculando o derivado de χ:
Agora, multiplicando χ por a:

Passo 5

Substituindo χ’ e a χ na equação diferencial:
Sabemos, pelo Passo 2, que:

Passo 6

Substituindo essas igualdades na expressão de χ’ + a χ:
Isso mostra que χ satisfaz a equação diferencial desejada.

Resposta

Portanto, mostramos que χ = φ + ψ satisfaz:

Exercícios relacionados