Mostre que a conclusão do Teorema do Valor Intermediário é falsa se f é descontínua em [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) não funciona se a função for descontínua no intervalo . Basicamente, vamos explorar como a falta de continuidade pode quebrar as garantias do TVI. Para isso, vamos precisar entender o que é o TVI e como a continuidade da função é essencial para ele funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e é um número entre e , então existe pelo menos um em tal que . Ou seja, a função atinge todos os valores intermediários entre e .

Passo 3

Agora, vamos pensar no que significa a função ser descontínua em . Uma função descontínua tem pelo menos um ponto onde ela “salta” ou “quebra”, ou seja, não existe um limite definido naquele ponto. Isso pode fazer com que alguns valores intermediários não sejam alcançados pela função, quebrando assim a conclusão do TVI.

Passo 4

Para ilustrar isso, vamos considerar um exemplo simples. Suponha que temos a função definida da seguinte forma em :
Essa função é descontínua em porque há um salto de 0 para 1. Agora, vamos aplicar o TVI. Tomemos , , e . De acordo com o TVI, para qualquer entre 0 e 1, deveria existir um em tal que . No entanto, devido à descontinuidade, não existe nenhum ponto onde seja igual a 0.5, por exemplo. Isso mostra que o TVI não se aplica quando a função não é contínua.

Resposta

Portanto, mostramos que se a função é descontínua em , a conclusão do Teorema do Valor Intermediário não é válida, já que alguns valores intermediários podem não ser alcançados pela função.

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