Mostre que a conclusão do Teorema do Valor Intermediário é falsa se
é descontínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) não funciona se a função
for descontínua no intervalo
. Basicamente, vamos explorar como a falta de continuidade pode quebrar as garantias do TVI. Para isso, vamos precisar entender o que é o TVI e como a continuidade da função é essencial para ele funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e
é um número entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
. Ou seja, a função atinge todos os valores intermediários entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que significa a função ser descontínua em
. Uma função descontínua tem pelo menos um ponto onde ela “salta” ou “quebra”, ou seja, não existe um limite definido naquele ponto. Isso pode fazer com que alguns valores intermediários não sejam alcançados pela função, quebrando assim a conclusão do TVI.
Passo 4
Para ilustrar isso, vamos considerar um exemplo simples. Suponha que temos a função
definida da seguinte forma em
:
Essa função é descontínua em
porque há um salto de 0 para 1. Agora, vamos aplicar o TVI. Tomemos
,
,
e
. De acordo com o TVI, para qualquer
entre 0 e 1, deveria existir um
em
tal que
. No entanto, devido à descontinuidade, não existe nenhum ponto
onde
seja igual a 0.5, por exemplo. Isso mostra que o TVI não se aplica quando a função não é contínua.
Resposta
Portanto, mostramos que se a função
é descontínua em
, a conclusão do Teorema do Valor Intermediário não é válida, já que alguns valores intermediários podem não ser alcançados pela função.
Exercícios relacionados
Considere uma população de bactérias que cresce segundo a função
, onde
representa o tempo em horas.
Calcule o limite e interprete o resultado no contexto do problema.
Calcule o limite
Seja
. Determine o valor do limite
. Caso não exista, justifique o motivo.
Seja
. Mostre que
tem pelo menos um zero em
.
Use o método da bissecção para encontrar uma raiz da equação
com precisão de duas casas decimais.