*Mostre que o conjunto
é enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é enumerável. Isso está dentro da matéria de Teoria dos Conjuntos, mais especificamente sobre conjuntos enumeráveis ou contáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como podemos relacionar os elementos de
com os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é chamado enumerável ou contável se seus elementos podem ser listados em uma sequência onde cada elemento corresponde a um número natural. Ou seja, podemos criar uma correspondência um a um entre os elementos do conjunto e os números naturais
.
Passo 3
No caso do conjunto
, os elementos são da forma
onde
é um número natural. Vamos tentar listar esses elementos em uma sequência ordenada, associando cada elemento a um número natural.
Passo 4
Vamos construir essa correspondência explicitamente. Associamos cada número natural
com o elemento
do conjunto
. Assim:
-
corresponde a -
corresponde a -
corresponde a - E assim por diante…
Passo 5
Dessa forma, conseguimos listar todos os elementos de
em uma sequência infinita, onde cada elemento está associado a um único número natural sem faltar nenhum elemento da lista. Essa correspondência um a um entre
e
mostra que
é enumerável.
Resposta
Portanto, o conjunto
é enumerável.
Exercícios relacionados
Se
, mostre que
.
Responda formalmente cada item a seguir.
Prove que não é racional.
Prove que
*Se
for enumerável, mostre que
é denso em
.
Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir: