*Mostre que o conjunto é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto é enumerável. Isso está dentro da matéria de Teoria dos Conjuntos, mais especificamente sobre conjuntos enumeráveis ou contáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como podemos relacionar os elementos de com os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é chamado enumerável ou contável se seus elementos podem ser listados em uma sequência onde cada elemento corresponde a um número natural. Ou seja, podemos criar uma correspondência um a um entre os elementos do conjunto e os números naturais .

Passo 3

No caso do conjunto , os elementos são da forma onde é um número natural. Vamos tentar listar esses elementos em uma sequência ordenada, associando cada elemento a um número natural.

Passo 4

Vamos construir essa correspondência explicitamente. Associamos cada número natural com o elemento do conjunto . Assim:
  • corresponde a
  • corresponde a
  • corresponde a
  • E assim por diante…

Passo 5

Dessa forma, conseguimos listar todos os elementos de em uma sequência infinita, onde cada elemento está associado a um único número natural sem faltar nenhum elemento da lista. Essa correspondência um a um entre e mostra que é enumerável.

Resposta

Portanto, o conjunto é enumerável.

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Se , mostre que .
Responda formalmente cada item a seguir.
Prove que não é racional.
*Se for enumerável, mostre que é denso em .
Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir: