*Se for enumerável, mostre que é denso em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto que é enumerável, ou seja, podemos listar seus elementos como uma sequência . Queremos mostrar que o complemento de em , denotado por , é denso em .
Vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Conjunto Enumerável: Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma lista infinita.
  2. Conjunto Denso: Um conjunto é denso em se, para qualquer intervalo aberto , existe pelo menos um elemento de dentro desse intervalo.

Passo 2

Começamos lembrando que é enumerável. Então, podemos listar seus elementos como . Nosso objetivo é mostrar que, mesmo que listemos todos os elementos de , o complemento ainda tem elementos em qualquer intervalo aberto de .

Passo 3

Para provar que é denso em , precisamos mostrar que, para qualquer intervalo aberto , existe pelo menos um número que pertence a dentro desse intervalo.
Ou seja, dada qualquer região de números reais, mesmo que pulemos todos os elementos de , ainda podemos encontrar um número que não está em nesse intervalo.

Passo 4

Vamos supor, para fins de contradição, que exista um intervalo aberto onde todos os números pertencem a . Isso significaria que contém todos os números reais nesse intervalo.
No entanto, sabemos que qualquer intervalo aberto em é não enumerável. Isso porque entre quaisquer dois números reais sempre há infinitos outros números reais, e não podemos listá-los um a um como fazemos com conjuntos enumeráveis.

Passo 5

Essa contradição mostra que nossa suposição inicial está errada. Portanto, não pode existir um intervalo aberto onde todos os números pertencem a . Em outras palavras, em qualquer intervalo aberto, sempre haverá pelo menos um número que está em .

Resposta

Assim, concluímos que o complemento é denso em .

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*Mostre que o conjunto é enumerável.
Se , mostre que .
Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Seja um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir: