*Se
for enumerável, mostre que
é denso em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto
que é enumerável, ou seja, podemos listar seus elementos como uma sequência
. Queremos mostrar que o complemento de
em
, denotado por
, é denso em
.
Vamos precisar entender dois conceitos principais:
- Conjunto Enumerável: Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma lista infinita.
- Conjunto Denso: Um conjunto
é denso em se, para qualquer intervalo aberto , existe pelo menos um elemento de dentro desse intervalo.
Passo 2
Começamos lembrando que
é enumerável. Então, podemos listar seus elementos como
. Nosso objetivo é mostrar que, mesmo que listemos todos os elementos de
, o complemento
ainda tem elementos em qualquer intervalo aberto de
.
Passo 3
Para provar que
é denso em
, precisamos mostrar que, para qualquer intervalo aberto
, existe pelo menos um número que pertence a
dentro desse intervalo.
Ou seja, dada qualquer região de números reais, mesmo que pulemos todos os elementos de
, ainda podemos encontrar um número que não está em
nesse intervalo.
Passo 4
Vamos supor, para fins de contradição, que exista um intervalo aberto
onde todos os números pertencem a
. Isso significaria que
contém todos os números reais nesse intervalo.
No entanto, sabemos que qualquer intervalo aberto
em
é não enumerável. Isso porque entre quaisquer dois números reais sempre há infinitos outros números reais, e não podemos listá-los um a um como fazemos com conjuntos enumeráveis.
Passo 5
Essa contradição mostra que nossa suposição inicial está errada. Portanto, não pode existir um intervalo aberto
onde todos os números pertencem a
. Em outras palavras, em qualquer intervalo aberto, sempre haverá pelo menos um número que está em
.
Resposta
Assim, concluímos que o complemento
é denso em
.
Exercícios relacionados
*Mostre que o conjunto
é enumerável.
Se
, mostre que
.
Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir:
Seja
um corpo. Utilizando-se os axiomas, prove cada igualdade a seguir: