Responda formalmente cada item a seguir.
Prove que raiz(2) - 1 não é racional.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que não é um número racional. Isso se relaciona com o conteúdo de números racionais e irracionais, além de técnicas de prova, como a prova por contradição. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número ser racional e como podemos demonstrar que algo não se enquadra nessa categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número racional pode ser expresso como uma fração a/b, onde a e b são inteiros e b != 0. Agora, vamos supor, para chegar a uma contradição, que é racional. Ou seja, existe uma fração a/b tal que:

Passo 3

Vamos isolar raiz(2) nessa equação. Somando 1 em ambos os lados, temos:
Isso implica que raiz(2) também seria igual a uma fração , onde e c é um inteiro.

Passo 4

No entanto, sabemos que raiz(2) é um número irracional, ou seja, não pode ser expresso como uma fração exata de dois inteiros. Isso cria uma contradição, já que nossa suposição inicial levou a uma afirmação falsa.

Passo 5

Como nossa suposição de que é racional leva a uma contradição, concluímos que não pode ser racional.

Resposta

Portanto, é um número irracional.

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