Responda formalmente cada item a seguir.
Prove que não é racional.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que não é um número racional. Isso se relaciona com o conteúdo de números racionais e irracionais, além de técnicas de prova, como a prova por contradição. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número ser racional e como podemos demonstrar que algo não se enquadra nessa categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número racional pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Agora, vamos supor, para chegar a uma contradição, que é racional. Ou seja, existe uma fração tal que:

Passo 3

Vamos isolar nessa equação. Somando 1 em ambos os lados, temos:
Isso implica que também seria igual a uma fração , onde e é um inteiro.

Passo 4

No entanto, sabemos que é um número irracional, ou seja, não pode ser expresso como uma fração exata de dois inteiros. Isso cria uma contradição, já que nossa suposição inicial levou a uma afirmação falsa.

Passo 5

Como nossa suposição de que é racional leva a uma contradição, concluímos que não pode ser racional.

Resposta

Portanto, é um número irracional.

Exercícios relacionados

Seja . Mastre que e que .
Se , mostre que .
*Mostre que o conjunto é enumerável.