Responda formalmente cada item a seguir.
Prove que
não é racional.
Prove que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que
não é um número racional. Isso se relaciona com o conteúdo de números racionais e irracionais, além de técnicas de prova, como a prova por contradição. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número ser racional e como podemos demonstrar que algo não se enquadra nessa categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número racional pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Agora, vamos supor, para chegar a uma contradição, que
é racional. Ou seja, existe uma fração
tal que:
Passo 3
Vamos isolar
nessa equação. Somando 1 em ambos os lados, temos:
Isso implica que
também seria igual a uma fração
, onde
e
é um inteiro.
Passo 4
No entanto, sabemos que
é um número irracional, ou seja, não pode ser expresso como uma fração exata de dois inteiros. Isso cria uma contradição, já que nossa suposição inicial levou a uma afirmação falsa.
Passo 5
Como nossa suposição de que
é racional leva a uma contradição, concluímos que
não pode ser racional.
Resposta
Portanto,
é um número irracional.
Exercícios relacionados
Seja
. Mastre que
e que
.
Se
, mostre que
.
*Mostre que o conjunto
é enumerável.