Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(a) S=(x, y) / y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que envolvem propriedades que um subespaço deve satisfazer, como conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. O vetor zero em é . Vamos verificar se esse vetor pertence a .

Passo 3

Substituindo y = 2 times 0 = 0 na condição , temos:
Então, o vetor está em . Isso satisfaz a primeira propriedade.

Passo 4

Agora, vamos verificar se (x1 + x2, y1 + y2) é fechado em relação à adição de vetores. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer em (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2)) e somarmos, o resultado também deve estar em .
Sejam e pertencentes a . Então, e .
A soma desses vetores é:
Substituindo e :
Observamos que , portanto, também satisfaz , então está em . Assim, é fechado na adição.

Passo 5

Por último, vamos verificar se y = 2x é fechado na multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de (k x, k y) por um escalar (k x, k times 2x) = (k x, 2k x) , o resultado também deve estar em .
Seja e um escalar qualquer. Temos:
Multiplicando o vetor por :
Substituindo :
Aqui, vemos que , que é a mesma relação , apenas com multiplicado por . Portanto, também pertence a , mostrando que é fechado na multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial.

Exercícios relacionados