Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que envolvem propriedades que um subespaço deve satisfazer, como conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se esse vetor pertence a
.
Passo 3
Substituindo
na condição
, temos:
Então, o vetor
está em
. Isso satisfaz a primeira propriedade.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado em relação à adição de vetores. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
pertencentes a
. Então,
e
.
A soma desses vetores é:
Substituindo
e
:
Observamos que
, portanto,
também satisfaz
, então está em
. Assim,
é fechado na adição.
Passo 5
Por último, vamos verificar se
é fechado na multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de
por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
um escalar qualquer. Temos:
Multiplicando o vetor por
:
Substituindo
:
Aqui, vemos que
, que é a mesma relação
, apenas com
multiplicado por
. Portanto,
também pertence a
, mostrando que
é fechado na multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial.
Exercícios relacionados
Seja
e
transformações lineares definidas por
Determine a representação matricial de
e
com respeito as bases ordenadas
de
e
, respectivamente.
Mostre que
com
primo é um corpo.
O vetor
pertence ao subespaço gerado por
e
Mostre que conjunto
não é um subanel de
.