Mostre que o conjunto B=(13, 2,0),(1, 13, 3),(0,1, 13) é uma base de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que o conjunto é uma base do espaço .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço .
O que vamos precisar: Para mostrar que é uma base, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Uma maneira comum de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores do conjunto A = 13 & 1 & 0 2 & 13 & 1 0 & 3 & 13 em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 13 cdot 13 cdot 13 + 1 cdot 1 cdot 0 + 0 cdot 2 cdot 3 - 0 cdot 13 cdot 13 - 1 cdot 1 cdot 0 - 13 cdot 2 cdot 3 . O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou pela expansão de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar.

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. det(A) = 127 + 0 + 0 - 0 - 0 - 2 = 127 - 2
Substituindo de volta na equação do determinante:

Passo 5

Agora, vamos simplificar:
127 - 2 = 127 - 5427 = -5327

Passo 6

O determinante de é , que é diferente de zero.

Resposta

Como o determinante de é diferente de zero ( ), os vetores do conjunto são linearmente independentes. Portanto, é uma base de .

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