Mostre que o conjunto é uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que o conjunto é uma base do espaço .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço .
O que vamos precisar: Para mostrar que é uma base, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Uma maneira comum de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores do conjunto em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou pela expansão de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar.

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente:
Substituindo de volta na equação do determinante:

Passo 5

Agora, vamos simplificar:

Passo 6

O determinante de é , que é diferente de zero.

Resposta

Como o determinante de é diferente de zero ( ), os vetores do conjunto são linearmente independentes. Portanto, é uma base de .

Exercícios relacionados

e as bases e . Determinar:
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
Calcular:
d)
  • Sejam . Mostre que (a) . (b) .
    © Se , então .