Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que o conjunto é uma base do espaço .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço .
O que vamos precisar: Para mostrar que é uma base, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Uma maneira comum de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores do conjunto em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou pela expansão de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar.
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente:
Substituindo de volta na equação do determinante:
Passo 5
Agora, vamos simplificar:
Passo 6
O determinante de é , que é diferente de zero.
Resposta
Como o determinante de é diferente de zero (), os vetores do conjunto são linearmente independentes. Portanto, é uma base de .