Mostre que o conjunto é base do espaço vetorial , denomina base canônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto e precisa mostrar que ele é uma base do espaço vetorial , que chamamos de base canônica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Então, nosso objetivo é mostrar que esses três vetores satisfazem essas duas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre linearidade independente. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Pra checar isso, a gente supõe que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero e verifica se os coeficientes dessa combinação precisam ser todos zero.
Então, consideramos:
Isso dá:
A única solução possível é , e , o que prova que os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto gera o espaço . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .
Pegamos um vetor qualquer em e queremos encontrar escalares tal que:
Isso dá o sistema:
Então, para qualquer , podemos escolher , e , mostrando que realmente gera .
Resposta
Como o conjunto é linearmente independente e gera o espaço , concluímos que é uma base de , conhecida como a base canônica.