Mostre que o conjunto B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) é base do espaço vetorial R^3, denomina base canônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto e precisa mostrar que ele é uma base do espaço vetorial , que chamamos de base canônica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Então, nosso objetivo é mostrar que esses três vetores satisfazem essas duas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linearidade independente. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Pra checar isso, a gente supõe que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero e verifica se os coeficientes dessa combinação precisam ser todos zero.
Então, consideramos:
a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (0,0,0)
Isso dá:
(a, b, c) = (0,0,0)
A única solução possível é , e , o que prova que os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (x, y, z) gera o espaço a = x b = y c = z . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .
Pegamos um vetor qualquer em e queremos encontrar escalares tal que:
Isso dá o sistema:
Então, para qualquer , podemos escolher , e , mostrando que realmente gera .

Resposta

Como o conjunto é linearmente independente e gera o espaço , concluímos que é uma base de , conhecida como a base canônica.

Exercícios relacionados

Para qual valor de k será o vetor (1,-2, k) em R^3 é uma combinação linear dos vetores v1=(3,0,-2), v2=(2,-1,5)?
Considerando os vetores no espaço vetorial R^3 ; u=(1,2,3); v=(4,5,6) e w=(6,7,8), mostre os axiomas:
A2) A adição ė comutativa.
u+v=v+u
Identifique a cônica, olotendo a eq.connica x^2-6 x-5 y+14=0
Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
(cc1 & 3 -2 & 6)