Para qual valor de k será o vetor (1,-2, k) em R^3 é uma combinação linear dos vetores v1=(3,0,-2), v2=(2,-1,5)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pergunta para encontrar o valor de tal que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Basicamente, estamos trabalhando com combinação linear aqui, que é um conceito de Álgebra Linear onde a gente combina vetores usando escalares (números) para chegar em outro vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa combinação linear. Queremos achar números (1, -2, k) = a cdot (3, 0, -2) + b cdot (2, -1, 5) e tais que:
Isso quer dizer que cada componente do vetor resultante deve ser igual à soma das componentes correspondentes após a multiplicação pelos escalares e .

Passo 3

Vamos escrever isso em termos de equações para cada componente:
  1. Componente x (primeira posição):
3a + 2b = 1
  1. Componente y (segunda posição):
0a - 1b = -2
  1. Componente z (terceira posição):
-2a + 5b = k
Agora temos um sistema de três equações.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela segunda equação, que é mais simples:
- b = -2
Resolvendo para b = 2 :

Passo 5

Com o valor de 3a + 2 cdot 2 = 1 3a + 4 = 1 3a = 1 - 4 3a = -3 a = -1 encontrado, substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 6

Agora que temos -2(-1) + 5(2) = k 2 + 10 = k k = 12 e , substituímos esses valores na terceira equação para encontrar :

Resposta

O valor de é 12.

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