Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que duas funções são ortogonais no intervalo de
a
. As funções são
e . Para isso, vamos precisar entender o que significa duas funções serem ortogonais e como calcular a integral do produto delas no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ortogonalidade de funções. Duas funções
e
são ortogonais no intervalo
se a integral do produto delas nesse intervalo for igual a zero. Ou seja:
No nosso caso, precisamos calcular:
e verificar se esse valor é igual a zero.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão . Sabemos que , mas isso não ajuda muito aqui. Em vez disso, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona com
. Uma forma útil é a identidade de potência reduzida:
Então, substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos distribuir a
dentro do parêntese:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Então, a primeira parte é zero.
Passo 6
Segunda integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade do produto de cossenos:
Aplicando isso:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Portanto, a segunda integral também é zero.
Passo 7
Voltando à expressão original:
Então, a integral do produto das funções no intervalo
é zero.
Resposta
As funções
e são ortogonais no intervalo
, pois a integral do produto delas nesse intervalo é igual a zero.
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