Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
e) f1(x) = cos(x), f2(x) = sen^2(x), [0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que duas funções são ortogonais no intervalo de a . As funções são e . Para isso, vamos precisar entender o que significa duas funções serem ortogonais e como calcular a integral do produto delas no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ortogonalidade de funções. Duas funções e são ortogonais no intervalo se a integral do produto delas nesse intervalo for igual a zero. Ou seja:
No nosso caso, precisamos calcular:
e verificar se esse valor é igual a zero.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão . Sabemos que , mas isso não ajuda muito aqui. Em vez disso, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona com . Uma forma útil é a identidade de potência reduzida:
Então, substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos distribuir a dentro do parêntese:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
Então, a primeira parte é zero.

Passo 6

Segunda integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade do produto de cossenos:
Aplicando isso:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Portanto, a segunda integral também é zero.

Passo 7

Voltando à expressão original:
Então, a integral do produto das funções no intervalo é zero.

Resposta

As funções e são ortogonais no intervalo , pois a integral do produto delas nesse intervalo é igual a zero.

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