Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
c) f1(x) = x, f2(x) = cos(2x), [-pi/2, pi/2]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo . Para isso, vamos utilizar conceitos de ortogonalidade de funções, que fazem parte do estudo de espaços de funções na matemática. Precisaremos calcular o produto interno das duas funções no intervalo dado e verificar se ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais em um intervalo. Duas funções e são ortogonais em se o produto interno delas no intervalo for zero. O produto interno é definido por:
Então, para mostrar que e são ortogonais em , precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular a integral . Para isso, utilizaremos o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções que são fáceis de derivar e integrar separadamente. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos e . Então, calculamos e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
onde é a constante de integração. Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de a :

Passo 5

Vamos calcular nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo os resultados:

Resposta

Como o produto interno , as funções e são ortogonais no intervalo .

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Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
a) f1(x) = x, f2(x) = x^2, [-2, 2]
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
b) f(x) = x cos(3x)
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
e) f1(x) = cos(x), f2(x) = sen^2(x), [0, pi]
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
a) {sen(x), sen(3x), sen(5x), ...}, [0, pi/2]