Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
c)
c)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as funções
e
são ortogonais no intervalo
. Para isso, vamos utilizar conceitos de ortogonalidade de funções, que fazem parte do estudo de espaços de funções na matemática. Precisaremos calcular o produto interno das duas funções no intervalo dado e verificar se ele é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais em um intervalo. Duas funções
e
são ortogonais em
se o produto interno delas no intervalo for zero. O produto interno é definido por:
Então, para mostrar que
e
são ortogonais em
, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos calcular a integral
. Para isso, utilizaremos o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções que são fáceis de derivar e integrar separadamente. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos
e
. Então, calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
onde
é a constante de integração. Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de
a
:
Passo 5
Vamos calcular nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo os resultados:
Resposta
Como o produto interno
, as funções
e
são ortogonais no intervalo
.
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Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
a)
a)
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
b)
b)
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
e)
e)
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
a)
a)