Mostre que o conjunto A=(3,1),(5,2) gera o R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que o conjunto gera o . Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser construído usando combinações desses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se esses vetores são linearmente independentes e suficientes para cobrir todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma expressão onde a gente multiplica cada vetor por um número (chamado de escalar) e depois soma os resultados. No nosso caso, queremos ver se, para qualquer vetor a cdot (3, 1) + b cdot (5, 2) = (x, y) em 3a + 5b = x , existem escalares a + 2b = y e tais que:
Isso dá duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a = y - 2b e 3(y - 2b) + 5b = x em termos de 3y - 6b + 5b = x e 3y - b = x . Podemos usar o método de substituição. Da segunda equação:
b = 3y - x
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então, isolando :

Passo 4

Agora que temos a = y - 2b = y - 2(3y - x) = y - 6y + 2x = 2x - 5y em termos de e , podemos substituir de volta na expressão para :

Passo 5

Com e , mostramos que para qualquer vetor em , existem escalares e que satisfazem as equações. Isso significa que os vetores e são suficientes para gerar qualquer vetor no plano.

Resposta

Portanto, o conjunto gera .

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