Mostre que o conjunto
gera o
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que o conjunto
gera o
. Isso significa que qualquer vetor no plano
pode ser construído usando combinações desses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se esses vetores são linearmente independentes e suficientes para cobrir todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma expressão onde a gente multiplica cada vetor por um número (chamado de escalar) e depois soma os resultados. No nosso caso, queremos ver se, para qualquer vetor
em
, existem escalares
e
tais que:
Isso dá duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
em termos de
e
. Podemos usar o método de substituição. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então, isolando
:
Passo 4
Agora que temos
em termos de
e
, podemos substituir de volta na expressão para
:
Passo 5
Com
e
, mostramos que para qualquer vetor
em
, existem escalares
e
que satisfazem as equações. Isso significa que os vetores
e
são suficientes para gerar qualquer vetor no plano.
Resposta
Portanto, o conjunto
gera
.