Mostre que é um conjunto gerador do espaço vetorial .
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o conjunto é um conjunto gerador do espaço vetorial . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda espaços vetoriais e conjuntos que conseguem “gerar” todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como ele funciona no espaço dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador do espaço vetorial se qualquer vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. No caso do espaço , que é tudo igual aos números reais, queremos ver se qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por algum número real.
Passo 3
Vamos pegar um número qualquer . Precisamos mostrar que existe um número real tal que . Bem, se a gente simplesmente escolher , então temos que . Isso significa que qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por .
Passo 4
Como mostramos que para qualquer , existe um que satisfaz , concluímos que o conjunto consegue “gerar” todo o espaço através de combinações lineares (nesse caso, apenas multiplicações, já que temos um único elemento no conjunto).
Resposta
Portanto, o conjunto é um conjunto gerador do espaço vetorial .