Mostre que 1 é um conjunto gerador do espaço vetorial R.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o conjunto 1 é um conjunto gerador do espaço vetorial R. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda espaços vetoriais e conjuntos que conseguem “gerar” todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como ele funciona no espaço dos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador do espaço vetorial se qualquer vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. No caso do espaço R, que é tudo igual aos números reais, queremos ver se qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por algum número real.

Passo 3

Vamos pegar um número qualquer x in R. Precisamos mostrar que existe um número real alpha tal que x = alpha cdot 1. Bem, se a gente simplesmente escolher alpha = x, então temos que x = x cdot 1. Isso significa que qualquer número real x pode ser obtido multiplicando 1 por x.

Passo 4

Como mostramos que para qualquer x in R, existe um alpha = x que satisfaz x = alpha cdot 1, concluímos que o conjunto 1 consegue “gerar” todo o espaço R através de combinações lineares (nesse caso, apenas multiplicações, já que temos um único elemento no conjunto).

Resposta

Portanto, o conjunto 1 é um conjunto gerador do espaço vetorial R.

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