Mostre que
é um conjunto gerador do espaço vetorial
.
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o conjunto
é um conjunto gerador do espaço vetorial
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda espaços vetoriais e conjuntos que conseguem “gerar” todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como ele funciona no espaço dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador do espaço vetorial se qualquer vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. No caso do espaço
, que é tudo igual aos números reais, queremos ver se qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por algum número real.
Passo 3
Vamos pegar um número qualquer
. Precisamos mostrar que existe um número real
tal que
. Bem, se a gente simplesmente escolher
, então temos que
. Isso significa que qualquer número real
pode ser obtido multiplicando 1 por
.
Passo 4
Como mostramos que para qualquer
, existe um
que satisfaz
, concluímos que o conjunto
consegue “gerar” todo o espaço
através de combinações lineares (nesse caso, apenas multiplicações, já que temos um único elemento no conjunto).
Resposta
Portanto, o conjunto
é um conjunto gerador do espaço vetorial
.