Mostre que é um conjunto gerador do espaço vetorial .

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o conjunto é um conjunto gerador do espaço vetorial . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda espaços vetoriais e conjuntos que conseguem “gerar” todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como ele funciona no espaço dos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador do espaço vetorial se qualquer vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. No caso do espaço , que é tudo igual aos números reais, queremos ver se qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por algum número real.

Passo 3

Vamos pegar um número qualquer . Precisamos mostrar que existe um número real tal que . Bem, se a gente simplesmente escolher , então temos que . Isso significa que qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por .

Passo 4

Como mostramos que para qualquer , existe um que satisfaz , concluímos que o conjunto consegue “gerar” todo o espaço através de combinações lineares (nesse caso, apenas multiplicações, já que temos um único elemento no conjunto).

Resposta

Portanto, o conjunto é um conjunto gerador do espaço vetorial .

Exercícios relacionados

a) Uma reta é tangente a uma elipse num ponto se intersecta só nesse ponto, ou seja .
Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de (conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
© formado por todas as matrizes triangulares superiores.
Use o método das linhas ou das colunas (como for apropriado) para encontrar
(a) a primeira linha de .
(b) a terceira linha de .
© a segunda coluna de .
(d) a primeira coluna de .
(e) a terceira linha de .
(f) a terceira coluna de .
Sejam , e vetores em . O vetor é combinação linear de e ?