Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base para a imagem da transformação linear , que é basicamente o conjunto de todos os possíveis resultados que pode produzir. A transformação é definida pela matriz que foi dada. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais, transformações lineares e como encontrar uma base para a imagem de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de , também chamada de espaço imagem ou range, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a vetores de . Matematicamente, isso é .
Para encontrar uma base para , precisamos identificar os vetores que formam um conjunto linearmente independente que gera todo o espaço imagem. Uma maneira eficiente de fazer isso é utilizando a redução da matriz para a sua forma escalonada e identificar as colunas que contêm os pivôs, que correspondem às colunas da base.
Passo 3
Vamos começar escrevendo a matriz :
Agora, vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada por linhas (forma de escada). O objetivo é simplificar a matriz para identificar os pivôs facilmente.
Passo 3.1: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô.
Passo 3.2: Subtrair a terceira linha da quarta linha para eliminar o elemento abaixo do segundo pivô.
Agora, a matriz está na forma escalonada por linhas.
Passo 4
Observando a matriz escalonada, identificamos os pivôs nas colunas 1, 3 e 4. Isso significa que as colunas originais 1, 3 e 4 da matriz são linhas de pivô e, portanto, formam uma base para a imagem de .
Então, vamos selecionar essas colunas da matriz :
Coluna 1:
Coluna 3:
Coluna 4:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se essas colunas são de fato linearmente independentes. Olhando para elas, vemos que nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das outras. Portanto, elas são linearmente independentes e geram a imagem de .
Resposta
Uma base para a imagem da transformação é formada pelos vetores: