Seja T: R^4 R^4 a transformação linear T(x)=A x dada pela matriz A abaixo. Calcule uma base para a imagem de T, i.e., para T(R^4) subset R^4.
A=(llll 1 & 1 & 0 & 0 2 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base para a imagem da transformação linear , que é basicamente o conjunto de todos os possíveis resultados que pode produzir. A transformação é definida pela matriz que foi dada. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais, transformações lineares e como encontrar uma base para a imagem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de , também chamada de espaço imagem ou range, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a vetores de . Matematicamente, isso é .
Para encontrar uma base para , precisamos identificar os vetores que formam um conjunto linearmente independente que gera todo o espaço imagem. Uma maneira eficiente de fazer isso é utilizando a redução da matriz para a sua forma escalonada e identificar as colunas que contêm os pivôs, que correspondem às colunas da base.

Passo 3

Vamos começar escrevendo a matriz A = 1 & 1 & 0 & 0 2 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 :
1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1
Agora, vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada por linhas (forma de escada). O objetivo é simplificar a matriz para identificar os pivôs facilmente.
Passo 3.1: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô.
1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Passo 3.2: Subtrair a terceira linha da quarta linha para eliminar o elemento abaixo do segundo pivô.
Agora, a matriz está na forma escalonada por linhas.

Passo 4

Observando a matriz escalonada, identificamos os pivôs nas colunas 1, 3 e 4. Isso significa que as colunas originais 1, 3 e 4 da matriz 1 2 0 0 são linhas de pivô e, portanto, formam uma base para a imagem de 0 0 1 1 .
Então, vamos selecionar essas colunas da matriz 0 0 0 1 :
  • Coluna 1:
  • Coluna 3:
  • Coluna 4:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se essas colunas são de fato linearmente independentes. Olhando para elas, vemos que nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das outras. Portanto, elas são linearmente independentes e geram a imagem de .

Resposta

Uma base para a imagem da transformação 1 2 0 0 , 0 0 1 1 , 0 0 0 1 é formada pelos vetores:

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