W=(x, y, z) in R^3 / 2 x-y+3 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto . Nosso objetivo aqui é entender esse conjunto. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre como resolver sistemas lineares e parametrizar soluções. Vamos precisar identificar as variáveis livres e expressar as variáveis dependentes em termos delas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação das variáveis livres e dependentes. A equação é:
2x - y + 3z = 0
Podemos reorganizar para expressar uma das variáveis em função das outras. Geralmente, escolhemos uma variável para isolar. Vamos isolar o y = 2x + 3z :

Passo 3

Agora, observamos que temos duas variáveis livres, x = s e z = t , porque podemos escolher qualquer valor para elas e calcular com base nessa escolha. Vamos atribuir parâmetros para essas variáveis livres. Vamos chamar:
onde e são parâmetros que pertencem aos números reais ( ).

Passo 4

Com esses parâmetros, podemos expressar y = 2s + 3t em termos de e :

Passo 5

Agora, podemos escrever qualquer vetor (x, y, z) = (s, 2s + 3t, t) em termos de e :

Passo 6

Podemos também decompor esse vetor em uma combinação linear dos vetores de base correspondentes aos parâmetros (x, y, z) = s cdot (1, 2, 0) + t cdot (0, 3, 1) e :

Passo 7

Isso mostra que o conjunto é um subespaço vetorial de gerado pelos vetores e .

Resposta

O conjunto W = s cdot 1 2 0 + t cdot 0 3 1 g| s, t in R pode ser descrito parametricamente como:

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