Quais são as possíveis formas escalonadas reduzidas de matrizes 2 x2? E de matrizes 3x3?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão quer saber quais são as possíveis formas escalonadas reduzidas de matrizes 2x2 e 3x3. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma forma escalonada reduzida e reconhecer como ela se aplica em matrizes de diferentes tamanhos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre formas escalonadas reduzidas. Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando ela atende a alguns critérios específicos:
  1. Pivôs: O primeiro número não nulo em cada linha, chamado de pivô, é 1.
  2. Zeros acima e abaixo dos pivôs: Cada pivô é o único número não nulo na sua coluna.
  3. Ordem dos pivôs: Os pivôs avançam para a direita conforme descemos pelas linhas.
Isso ajuda a simplificar sistemas de equações e torna a matriz fácil de resolver.

Passo 3

Vamos começar com as matrizes 2x2. Essas matrizes têm duas linhas e duas colunas. As possíveis formas escalonadas reduzidas para uma matriz 2x2 são:
  1. Matriz Identidade:
    1 & 0 0 & 1
    Aqui, cada pivô é 1 e não há outros números diferentes de zero nas colunas dos pivôs.
  2. Matriz com Um Pivô (Primeiro elemento da primeira linha é 1):
    1 & a 0 & 0
    Onde 0 & 0 0 & 1 pode ser qualquer número real. Apenas o primeiro pivô está presente.
  3. Matriz com Um Pivô (Primeiro elemento da segunda linha é 1):
    Aqui, o pivô está na segunda linha e na segunda coluna.

Passo 4

Agora, vamos para as matrizes 3x3, que têm três linhas e três colunas. As possíveis formas escalonadas reduzidas para uma matriz 3x3 são um pouco mais variadas:
  1. Matriz Identidade:
    1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
    Cada pivô é 1, e não há outros números diferentes de zero nas colunas dos pivôs.
  2. Matriz com Dois Pivôs:
    • Pivôs na primeira e segunda linhas: 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 0
    • Pivôs na primeira e terceira linhas: 1 & a & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1
    • Pivôs na segunda e terceira linhas: 0 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & 0 & 1
    Aqui, 1 & a & b 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & 0 & 0 , e 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 podem ser quaisquer números reais.
  3. Matriz com Um Pivô:
    • Pivô apenas na primeira linha:
    • Pivô apenas na segunda linha:
    • Pivô apenas na terceira linha:
    Novamente, e podem ser qualquer número real.

Resposta

As possíveis formas escalonadas reduzidas são:
  • Para matrizes 2x2:
    1 & 0 0 & 1 , 1 & a 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1
    onde 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 0 , 1 & a & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & 0 & 1 , 1 & a & b 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 é qualquer número real.
  • Para matrizes 3x3:
    onde , e são quaisquer números reais.

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