Quais são as possíveis formas escalonadas reduzidas de matrizes 2 x2? E de matrizes 3x3?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão quer saber quais são as possíveis formas escalonadas reduzidas de matrizes 2x2 e 3x3. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma forma escalonada reduzida e reconhecer como ela se aplica em matrizes de diferentes tamanhos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre formas escalonadas reduzidas. Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando ela atende a alguns critérios específicos:
- Pivôs: O primeiro número não nulo em cada linha, chamado de pivô, é 1.
- Zeros acima e abaixo dos pivôs: Cada pivô é o único número não nulo na sua coluna.
- Ordem dos pivôs: Os pivôs avançam para a direita conforme descemos pelas linhas.
Isso ajuda a simplificar sistemas de equações e torna a matriz fácil de resolver.
Passo 3
Vamos começar com as matrizes 2x2. Essas matrizes têm duas linhas e duas colunas. As possíveis formas escalonadas reduzidas para uma matriz 2x2 são:
-
Matriz Identidade:Aqui, cada pivô é 1 e não há outros números diferentes de zero nas colunas dos pivôs.
-
Matriz com Um Pivô (Primeiro elemento da primeira linha é 1):Onde
pode ser qualquer número real. Apenas o primeiro pivô está presente. -
Matriz com Um Pivô (Primeiro elemento da segunda linha é 1):Aqui, o pivô está na segunda linha e na segunda coluna.
Passo 4
Agora, vamos para as matrizes 3x3, que têm três linhas e três colunas. As possíveis formas escalonadas reduzidas para uma matriz 3x3 são um pouco mais variadas:
-
Matriz Identidade:Cada pivô é 1, e não há outros números diferentes de zero nas colunas dos pivôs.
-
Matriz com Dois Pivôs:
- Pivôs na primeira e segunda linhas:
1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 0 - Pivôs na primeira e terceira linhas:
1 & a & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 - Pivôs na segunda e terceira linhas:
0 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & 0 & 1
Aqui, ,1 & a & b 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , e0 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & 0 & 0 podem ser quaisquer números reais.0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 - Pivôs na primeira e segunda linhas:
-
Matriz com Um Pivô:
- Pivô apenas na primeira linha:
- Pivô apenas na segunda linha:
- Pivô apenas na terceira linha:
Novamente, e podem ser qualquer número real. - Pivô apenas na primeira linha:
Resposta
As possíveis formas escalonadas reduzidas são:
-
Para matrizes 2x2:
1 & 0 0 & 1 , 1 & a 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 onde é qualquer número real.1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 0 , 1 & a & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & 0 & 1 , 1 & a & b 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 -
Para matrizes 3x3:onde
, e são quaisquer números reais.