Seja é uma função . Para quaisquer funções qualquer escalar , sejam e funções em , definidas como segue:
Mostre que é um espaço vetorial sobre .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que o conjunto das funções de para , com as operações de soma de funções e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar verificar se satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto onde podemos adicionar elementos e multiplicar por escalares, e que essas operações seguem certas regras, como associatividade, existência de um elemento neutro, etc. Neste caso, nosso conjunto consiste em funções, e as operações são dadas por:
para quaisquer funções e escalar .
Passo 3
Vamos verificar cada uma das propriedades necessárias para um espaço vetorial:
Fechamento pela soma: Se e estão em , então também está em .
Fechamento pela multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Associatividade da soma: para quaisquer .
Existência do elemento neutro: Existe uma função tal que para todo .
Existência de inversos aditivos: Para cada , existe tal que .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: .
Associatividade da multiplicação por escalar: .
Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Passo 4
1. Fechamento pela soma: Se e são funções de para , então também é uma função de para , pois a soma de duas funções bem definidas é também uma função bem definida.
2. Fechamento pela multiplicação por escalar: Similarmente, se é uma função de para e é um número real, então também é uma função de para .
Passo 5
3. Associatividade da soma: Para quaisquer ,
Portanto, .
4. Existência do elemento neutro: A função zero , definida por para todo , satisfaz para qualquer .
Passo 6
5. Existência de inversos aditivos: Para cada , a função , definida por , está em e satisfaz .
6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Logo, .
Passo 7
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Portanto, .
8. Associatividade da multiplicação por escalar:
Assim, .
Passo 8
9. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Logo, .
Resposta
Todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas, portanto, é um espaço vetorial sobre .