Seja
é uma função
. Para quaisquer funções
qualquer escalar
, sejam
e
funções em
, definidas como segue:
Mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que o conjunto
das funções de
para
, com as operações de soma de funções e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos precisar verificar se
satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto onde podemos adicionar elementos e multiplicar por escalares, e que essas operações seguem certas regras, como associatividade, existência de um elemento neutro, etc. Neste caso, nosso conjunto
consiste em funções, e as operações são dadas por:
para quaisquer funções
e escalar
.
Passo 3
Vamos verificar cada uma das propriedades necessárias para um espaço vetorial:
- Fechamento pela soma: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento pela multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em . - Associatividade da soma:
para quaisquer . - Existência do elemento neutro: Existe uma função
tal que para todo . - Existência de inversos aditivos: Para cada
, existe tal que . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Passo 4
1. Fechamento pela soma: Se
e
são funções de
para
, então
também é uma função de
para
, pois a soma de duas funções bem definidas é também uma função bem definida.
2. Fechamento pela multiplicação por escalar: Similarmente, se
é uma função de
para
e
é um número real, então
também é uma função de
para
.
Passo 5
3. Associatividade da soma: Para quaisquer
,
Portanto,
.
4. Existência do elemento neutro: A função zero
, definida por
para todo
, satisfaz
para qualquer
.
Passo 6
5. Existência de inversos aditivos: Para cada
, a função
, definida por
, está em
e satisfaz
.
6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Logo,
.
Passo 7
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Portanto,
.
8. Associatividade da multiplicação por escalar:
Assim,
.
Passo 8
9. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Logo,
.
Resposta
Todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas, portanto,
é um espaço vetorial sobre
.