Seja V=f: R longrightarrow R ; f é uma função . Para quaisquer funções f, g in V e qualquer escalar alpha in R, sejam f+g e alpha f funções em V, definidas como segue:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) e(alpha f)(x)=alpha f(x) ; forall x in R
Mostre que V é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que o conjunto das funções de para , com as operações de soma de funções e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar verificar se satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto onde podemos adicionar elementos e multiplicar por escalares, e que essas operações seguem certas regras, como associatividade, existência de um elemento neutro, etc. Neste caso, nosso conjunto (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (alpha f)(x) = alpha f(x) consiste em funções, e as operações são dadas por:
para quaisquer funções e escalar .

Passo 3

Vamos verificar cada uma das propriedades necessárias para um espaço vetorial:
  1. Fechamento pela soma: Se e estão em , então também está em .
  2. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
  3. Associatividade da soma: para quaisquer .
  4. Existência do elemento neutro: Existe uma função tal que para todo .
  5. Existência de inversos aditivos: Para cada , existe tal que .
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: .
  8. Associatividade da multiplicação por escalar: .
  9. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .

Passo 4

1. Fechamento pela soma: Se e são funções de para , então também é uma função de para , pois a soma de duas funções bem definidas é também uma função bem definida.
2. Fechamento pela multiplicação por escalar: Similarmente, se é uma função de para e é um número real, então também é uma função de para .

Passo 5

3. Associatividade da soma: Para quaisquer (f + (g + h))(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x) = ((f + g) + h)(x) ,
Portanto, .
4. Existência do elemento neutro: A função zero , definida por para todo , satisfaz para qualquer .

Passo 6

5. Existência de inversos aditivos: Para cada alpha (f + g)(x) = alpha (f(x) + g(x)) = alpha f(x) + alpha g(x) = (alpha f + alpha g)(x) , a função , definida por , está em e satisfaz .
6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Logo, .

Passo 7

7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(alpha + beta) f(x) = (alpha + beta) f(x) = alpha f(x) + beta f(x) = (alpha f + beta f)(x)
Portanto, alpha (beta f)(x) = alpha (beta f(x)) = (alpha beta) f(x) = (alpha beta f)(x) .
8. Associatividade da multiplicação por escalar:
Assim, .

Passo 8

9. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1 f(x) = 1 cdot f(x) = f(x)
Logo, .

Resposta

Todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas, portanto, é um espaço vetorial sobre .

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