Mostre que o conjunto
U=(x, y, z, t) in R^4: a x+b y+c z+d t=0 ; onde a, b, c, d in R
é um subespaço vetorial de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto composto por vetores de que satisfazem a equação , onde são números reais. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse conjunto é um subespaço vetorial de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em a(0) + b(0) + c(0) + d(0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é .
Substituindo na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a . Isso confirma a primeira propriedade.

Passo 3

Agora, vamos checar se a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 + z2) + d(t1 + t2) = (ax1 + by1 + cz1 + dt1) + (ax2 + by2 + cz2 + dt2) é fechado sob a adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer ax1 + by1 + cz1 + dt1 = 0 e ax2 + by2 + cz2 + dt2 = 0 e 0 + 0 = 0 em , a soma também deve estar em .
Vamos verificar:
Como e estão em , temos:
Portanto:
Isso mostra que também satisfaz a equação e, consequentemente, está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se a(kx) + b(ky) + c(kz) + d(kt) = k(ax + by + cz + dt) é fechado sob a multiplicação por escalar. Isto é, se pegarmos um vetor ax + by + cz + dt = 0 em k cdot 0 = 0 e um escalar , o vetor também deve estar em .
Vamos verificar:
Como está em , temos:
Portanto:
Então, também satisfaz a equação e está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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