Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto composto por vetores de que satisfazem a equação , onde são números reais. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse conjunto é um subespaço vetorial de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é .
Substituindo na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a . Isso confirma a primeira propriedade.

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob a adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Vamos verificar:
Como e estão em , temos:
Portanto:
Isso mostra que também satisfaz a equação e, consequentemente, está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob a multiplicação por escalar. Isto é, se pegarmos um vetor em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Vamos verificar:
Como está em , temos:
Portanto:
Então, também satisfaz a equação e está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Escreva o número na base 10 utilizando a divisão de Euclides (BASE NUMÉRICA):
Mostre que e calcule a dimensão de .
Dica: Use a .
Calcule a partir das divisões sucessivas, teoremas ou proposições trabalhadas em aula ( MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM)
A.
Sendo e , calcular .