Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
composto por vetores de
que satisfazem a equação
, onde
são números reais. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três propriedades:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
Substituindo na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a
. Isso confirma a primeira propriedade.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob a adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Vamos verificar:
Como
e
estão em
, temos:
Portanto:
Isso mostra que
também satisfaz a equação e, consequentemente, está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob a multiplicação por escalar. Isto é, se pegarmos um vetor
em
e um escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Vamos verificar:
Como
está em
, temos:
Portanto:
Então,
também satisfaz a equação e está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Escreva o número
na base 10 utilizando a divisão de Euclides (BASE NUMÉRICA):
Mostre que
e calcule a dimensão de
.
Dica: Use a .
Dica: Use a
Calcule a partir das divisões sucessivas, teoremas ou proposições trabalhadas em aula ( MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM)
A.
A.
Sendo
e
, calcular
.