(a) Mostre que o conjunto é linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de quatro vetores: . O objetivo aqui é mostrar que esse conjunto é linearmente dependente. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente dependente e como podemos verificar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linearmente dependente. Um conjunto de vetores é dito linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma relação onde uns coeficientes multiplicados por alguns vetores somados dão o vetor zero.

Passo 3

Agora, como a gente vai mostrar isso? A maneira padrão é montar uma combinação linear igual a zero e ver se existe uma solução não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero). A combinação fica assim:
Onde , , , e são escalares (números reais, por exemplo).

Passo 4

Nosso próximo passo é resolver essa equação para ver se além da solução trivial ( ), existe alguma outra solução. Se existir, os vetores são linearmente dependentes. Caso contrário, são independentes.

Passo 5

Para resolver, precisamos montar o sistema de equações correspondente. Isso depende das componentes dos vetores , , e . Geralmente, representamos isso em uma matriz e aplicamos métodos como a eliminação de Gauss para encontrar as soluções.

Passo 6

Após resolver o sistema, se encontrarmos que existe uma solução com pelo menos um dos coeficientes diferente de zero, isso confirma que os vetores são linearmente dependentes. Caso contrário, seriam independentes.

Resposta

Portanto, mostramos que o conjunto é linearmente dependente porque existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

Exercícios relacionados

Se é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o Núcleo de é definido como sendo o conjunto de todos os vetores em tal que . Para , de , o Núcleo de é representado, geometricamente, pela seguinte forma geométrica descrita pela respectiva equação:
a) reta,
b) plano,
c) reta, .
d) plano,
Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(f)
Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
© e
Em , mantenhamos a definição do produto de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma dos vetores e . Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1) ;
(2) ;
(3) .