Se é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o Núcleo de é definido como sendo o conjunto de todos os vetores em tal que . Para , de , o Núcleo de é representado, geometricamente, pela seguinte forma geométrica descrita pela respectiva equação:
a) reta,
b) plano,
c) reta, .
d) plano,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . O exercício quer saber qual das opções geométricas representa o Núcleo de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar os vetores que satisfazem .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em tal que . Ou seja, queremos encontrar todos os que, quando aplicados na transformação , resultam no vetor zero.
Passo 3
Vamos escrever as equações que definem . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar (x + 2y - z) + (2x + 3y + z) = 0 + 0 3x + 5y = 0 (Equação 4) , e . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação. Primeiro, somamos a primeira equação com a segunda para eliminar :
Vamos agora usar a Equação 4 para expressar 3x + 5y = 0 3x = -5y x = -53y em termos de :
Passo 7
Com x + 2y - z = 0 -53y + 2y - z = 0 (-53 + 2)y - z = 0 (-53 + 63)y - z = 0 13y - z = 0 z = 13y expresso em termos de , substituímos na primeira equação para encontrar :
Passo 8
Agora, todo vetor no Núcleo pode ser escrito em termos de (x, y, z) = (-53y, y, 13y) = y (-53, 1, 13) :
Passo 9
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 3 para evitar frações:
(x, y, z) = y (-5, 3, 1)
Isso significa que o Núcleo é uma reta que passa pela origem e segue a direção do vetor .