Se é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o Núcleo de é definido como sendo o conjunto de todos os vetores em tal que . Para , de , o Núcleo de é representado, geometricamente, pela seguinte forma geométrica descrita pela respectiva equação:
a) reta,
b) plano,
c) reta, .
d) plano,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . O exercício quer saber qual das opções geométricas representa o Núcleo de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar os vetores que satisfazem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em tal que . Ou seja, queremos encontrar todos os que, quando aplicados na transformação , resultam no vetor zero.

Passo 3

Vamos escrever as equações que definem . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar , e . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação. Primeiro, somamos a primeira equação com a segunda para eliminar :
çã

Passo 5

Agora, somamos a primeira equação com a terceira:
çã

Passo 6

Vamos agora usar a Equação 4 para expressar em termos de :

Passo 7

Com expresso em termos de , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 8

Agora, todo vetor no Núcleo pode ser escrito em termos de :

Passo 9

Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 3 para evitar frações:
Isso significa que o Núcleo é uma reta que passa pela origem e segue a direção do vetor .

Resposta

c) reta, .

Exercícios relacionados

Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(f)
Sejam vetores nâo-nulos do espaço vetorial . Prove que é múltiplo de u se, e somente se, é múltiplo de v. Que se pode dizer caso nåo suponhamos u e ambos diferentes de zero?
(a) Mostre que o conjunto é linearmente dependentes.
Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
© e