Se T: V W é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o Núcleo de T é definido como sendo o conjunto de todos os vetores x em V tal que T x=0. Para T(x, y, z)= (x+2 y-z, 2 x+3 y+z, 4 x+7 y-z), de R^3 R^3, o Núcleo de T é representado, geometricamente, pela seguinte forma geométrica descrita pela respectiva equação:
a) reta, x=y=z
b) plano, x+y+z+5=0
c) reta, -x5=y3=z.
d) plano, x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . O exercício quer saber qual das opções geométricas representa o Núcleo de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar os vetores que satisfazem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em tal que . Ou seja, queremos encontrar todos os que, quando aplicados na transformação , resultam no vetor zero.

Passo 3

Vamos escrever as equações que definem x + 2y - z = 0 2x + 3y + z = 0 4x + 7y - z = 0 . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar (x + 2y - z) + (2x + 3y + z) = 0 + 0 3x + 5y = 0 (Equação 4) , e . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação. Primeiro, somamos a primeira equação com a segunda para eliminar :
çã

Passo 5

Agora, somamos a primeira equação com a terceira:
(x + 2y - z) + (4x + 7y - z) = 0 + 0 5x + 9y - 2z = 0 (Equação 5) çã

Passo 6

Vamos agora usar a Equação 4 para expressar 3x + 5y = 0 3x = -5y x = -53y em termos de :

Passo 7

Com x + 2y - z = 0 -53y + 2y - z = 0 (-53 + 2)y - z = 0 (-53 + 63)y - z = 0 13y - z = 0 z = 13y expresso em termos de , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 8

Agora, todo vetor no Núcleo pode ser escrito em termos de (x, y, z) = (-53y, y, 13y) = y (-53, 1, 13) :

Passo 9

Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 3 para evitar frações:
(x, y, z) = y (-5, 3, 1)
Isso significa que o Núcleo é uma reta que passa pela origem e segue a direção do vetor .

Resposta

c) reta, .

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