Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se um certo conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você pegar dois vetores de e somar, o resultado também está em ).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você pegar um vetor de e multiplicar por um número qualquer, o resultado também está em ).
Vamos checar essas condições uma por uma para ver se é realmente um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos ver se conseguimos encontrar valores de e que façam .
Isso significa que:
Se e , então todas as três equações são satisfeitas. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de , a soma deles também deve estar em .
Vamos chamar dois vetores de :
Somando esses vetores:
Vamos chamar e . Então:
Como e são reais (já que são reais), isso mostra que a soma dos dois vetores está de fato em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor qualquer de por um número real , o resultado também deve estar em .
Pegamos um vetor de :
Multiplicando por :
Vamos chamar e . Então:
Como e são reais (já que são reais), o vetor multiplicado também está em . Logo, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço do espaço vetorial .

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Sejam vetores nâo-nulos do espaço vetorial . Prove que é múltiplo de u se, e somente se, é múltiplo de v. Que se pode dizer caso nåo suponhamos u e ambos diferentes de zero?
Aponte qual o item que expressa a derivada da função .
a)
b)
c)
d)
Se é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o Núcleo de é definido como sendo o conjunto de todos os vetores em tal que . Para , de , o Núcleo de é representado, geometricamente, pela seguinte forma geométrica descrita pela respectiva equação:
a) reta,
b) plano,
c) reta, .
d) plano,
(a) Mostre que o conjunto é linearmente dependentes.