Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se um certo conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você pegar dois vetores de
e somar, o resultado também está em ). - É fechado sob multiplicação por escalar (se você pegar um vetor de
e multiplicar por um número qualquer, o resultado também está em ).
Vamos checar essas condições uma por uma para ver se
é realmente um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se conseguimos encontrar valores de
e
que façam
.
Isso significa que:
Se
e
, então todas as três equações são satisfeitas. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos chamar dois vetores de
:
Somando esses vetores:
Vamos chamar
e
. Então:
Como
e
são reais (já que
são reais), isso mostra que a soma dos dois vetores está de fato em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor qualquer de
por um número real
, o resultado também deve estar em
.
Pegamos um vetor de
:
Multiplicando por
:
Vamos chamar
e
. Então:
Como
e
são reais (já que
são reais), o vetor multiplicado também está em
. Logo,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que
é um subespaço do espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Sejam
vetores nâo-nulos do espaço vetorial
. Prove que
é múltiplo de u se, e somente se,
é múltiplo de v. Que se pode dizer caso nåo suponhamos u e
ambos diferentes de zero?
Aponte qual o item que expressa a derivada da função
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Se
é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o Núcleo de
é definido como sendo o conjunto de todos os vetores
em
tal que
. Para
, de
, o Núcleo de
é representado, geometricamente, pela seguinte forma geométrica descrita pela respectiva equação:
a) reta,
b) plano,
c) reta, .
d) plano,
a) reta,
b) plano,
c) reta,
d) plano,
(a) Mostre que o conjunto
é linearmente dependentes.