Verifique se o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
(f) W=(x, x+y, y): x, y in R, V=R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se um certo conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você pegar dois vetores de e somar, o resultado também está em ).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você pegar um vetor de e multiplicar por um número qualquer, o resultado também está em ).
Vamos checar essas condições uma por uma para ver se é realmente um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em x = 0 x + y = 0 y = 0 . O vetor zero em é . Vamos ver se conseguimos encontrar valores de e que façam .
Isso significa que:
Se e , então todas as três equações são satisfeitas. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u = (x1, x1 + y1, y1) v = (x2, x2 + y2, y2) é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de u + v = (x1 + x2, (x1 + y1) + (x2 + y2), y1 + y2) = (x1 + x2, (x1 + x2) + (y1 + y2), y1 + y2) , a soma deles também deve estar em u + v = (x, x + y, y) .
Vamos chamar dois vetores de :
Somando esses vetores:
Vamos chamar e . Então:
Como e são reais (já que são reais), isso mostra que a soma dos dois vetores está de fato em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se u = (x, x + y, y) é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor qualquer de c cdot u = (c cdot x, c cdot (x + y), c cdot y) = (c x, c x + c y, c y) por um número real c cdot u = (x', x' + y', y') , o resultado também deve estar em .
Pegamos um vetor de :
Multiplicando por :
Vamos chamar e . Então:
Como e são reais (já que são reais), o vetor multiplicado também está em . Logo, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço do espaço vetorial .

Exercícios relacionados