Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que o conjunto
não é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente quando a gente estuda espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos verificar se
satisfaz os critérios para ser um subespaço, ou seja, se ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o conjunto
. Ele é definido como o conjunto de matrizes 2x2 da forma:
Aqui,
e
são números reais. Notamos que a entrada
impõe que
seja não negativo, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Passo 3
Agora, para verificar se
é um subespaço vetorial, precisamos checar três coisas:
- O vetor zero está em
: substituindo e , temos a matriz zero:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
- Fechamento sob adição: pegamos duas matrizes quaisquer em
e verificamos se a soma também está em .
Sejam:
A soma é:
Para que
esteja em
, deveria ser do formato
. Mas o termo
nem sempre é igual a
. Por exemplo, se
, então:
Isso mostra que a soma nem sempre pertence a
.
Passo 5
- Fechamento sob multiplicação por escalar: vamos verificar se, ao multiplicar uma matriz de
por um escalar , o resultado ainda está em .
Seja:
Para estar em
, a última entrada deveria ser
. Mas:
Além disso, se
for negativo,
não é real, o que não está permitido no conjunto
.
Resposta
Portanto, como
não é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.