Mostre que o conjunto W não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
E=M2 times 2 e W=(ccx & 2 x y & raizy): x, y in R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que o conjunto não é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente quando a gente estuda espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos verificar se satisfaz os critérios para ser um subespaço, ou seja, se ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o conjunto W = x & 2x y & raizy : x, y in R . Ele é definido como o conjunto de matrizes 2x2 da forma:
Aqui, e são números reais. Notamos que a entrada impõe que seja não negativo, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Passo 3

Agora, para verificar se 0 & 0 0 & 0 in W é um subespaço vetorial, precisamos checar três coisas:
  1. O vetor zero está em : substituindo e , temos a matriz zero:
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

  1. Fechamento sob adição: pegamos duas matrizes quaisquer em A = x1 & 2x1 y1 & raizy1 , B = x2 & 2x2 y2 & raizy2 e verificamos se a soma também está em A + B = x1 + x2 & 2(x1 + x2) y1 + y2 & raizy1 + raizy2 .
    Sejam:
x & 2x y & raizy
A soma é:
raiz1 + raiz1 = 2 e raiz1 + 1 = raiz2 neq 2
Para que esteja em , deveria ser do formato . Mas o termo nem sempre é igual a . Por exemplo, se , então:
Isso mostra que a soma nem sempre pertence a .

Passo 5

  1. Fechamento sob multiplicação por escalar: vamos verificar se, ao multiplicar uma matriz de c cdot A = c x & 2c x c y & c raizy por um escalar c raizy neq raizc y a menos que c = 1 ou y = 0 , o resultado ainda está em .
    Seja:
Para estar em , a última entrada deveria ser . Mas:
Além disso, se for negativo, não é real, o que não está permitido no conjunto .

Resposta

Portanto, como não é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço vetorial de .

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