Mostre que o conjunto não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que o conjunto não é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente quando a gente estuda espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos verificar se satisfaz os critérios para ser um subespaço, ou seja, se ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o conjunto . Ele é definido como o conjunto de matrizes 2x2 da forma:
Aqui, e são números reais. Notamos que a entrada impõe que seja não negativo, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Passo 3

Agora, para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos checar três coisas:
  1. O vetor zero está em : substituindo e , temos a matriz zero:
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

  1. Fechamento sob adição: pegamos duas matrizes quaisquer em e verificamos se a soma também está em .
    Sejam:
A soma é:
Para que esteja em , deveria ser do formato . Mas o termo nem sempre é igual a . Por exemplo, se , então:
Isso mostra que a soma nem sempre pertence a .

Passo 5

  1. Fechamento sob multiplicação por escalar: vamos verificar se, ao multiplicar uma matriz de por um escalar , o resultado ainda está em .
    Seja:
Para estar em , a última entrada deveria ser . Mas:
Além disso, se for negativo, não é real, o que não está permitido no conjunto .

Resposta

Portanto, como não é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Calcule:
Seja a matriz
(a) Determine o polinômio , onde é a matriz identidade de ordem 3 e .
(b) Verifique que , onde 0 é a matriz nula de ordem 3 .
© Use o item anterior para calcular a inversa de .
Seja um grupo. Mostre que: (a) Se , então .
Mostre que o conjunto não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e