Mostre que o conjunto não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar. e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que o conjunto não é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente quando a gente estuda espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos verificar se satisfaz os critérios para ser um subespaço, ou seja, se ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o conjunto . Ele é definido como o conjunto de matrizes 2x2 da forma:
Aqui, e são números reais. Notamos que a entrada impõe que seja não negativo, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Passo 3
Agora, para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos checar três coisas:
O vetor zero está em : substituindo e , temos a matriz zero:
Então, o vetor zero está em .
Passo 4
Fechamento sob adição: pegamos duas matrizes quaisquer em e verificamos se a soma também está em .
Sejam:
A soma é:
Para que esteja em , deveria ser do formato . Mas o termo nem sempre é igual a . Por exemplo, se , então:
Isso mostra que a soma nem sempre pertence a .
Passo 5
Fechamento sob multiplicação por escalar: vamos verificar se, ao multiplicar uma matriz de por um escalar , o resultado ainda está em .
Seja:
Para estar em , a última entrada deveria ser . Mas:
Além disso, se for negativo, não é real, o que não está permitido no conjunto .
Resposta
Portanto, como não é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço vetorial de .