Seja (G, *) um grupo. Mostre que: (a) Se a, b in G, então (a * b)^-1=b^-1 * a^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um grupo (G, *), se tivermos dois elementos a e b, então o inverso do produto (a * b) é igual ao produto dos inversos, mas na ordem inversa: (a * b)^-1 = b^-1 * a^-1. Vamos usar os conceitos de grupos e inversos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo (G, *) é um conjunto G com uma operação binária * que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para cada elemento.

Passo 3

Sabemos que para qualquer elemento a in G, existe um inverso a^-1 in G tal que a * a^-1 = a^-1 * a = e, onde e é o elemento neutro do grupo.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o inverso de (a * b). Por definição, isso significa encontrar um elemento que, quando multiplicado por (a * b), dê o elemento neutro e. Ou seja:
(a * b) * (a * b)^-1 = e

Passo 5

Vamos supor que (a * b)^-1 = b^-1 * a^-1 e verificar se isso satisfaz a condição acima:
(a * b) * (b^-1 * a^-1)

Passo 6

Usando a propriedade associativa do grupo, podemos reescrever:
a * (b * b^-1) * a^-1

Passo 7

Sabemos que b * b^-1 = e, então substituindo:
a * e * a^-1

Passo 8

Como e é o elemento neutro, qualquer elemento multiplicado por e permanece igual:
a * a^-1

Passo 9

E, por definição, a * a^-1 = e. Portanto:
(a * b) * (b^-1 * a^-1) = e

Passo 10

Isso mostra que b^-1 * a^-1 é realmente o inverso de a * b. Logo, provamos que:
(a * b)^-1 = b^-1 * a^-1

Resposta

(a * b)^-1 = b^-1 * a^-1

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