Seja
um grupo. Mostre que: (a) Se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um grupo
, se tivermos dois elementos
e
, então o inverso do produto
é igual ao produto dos inversos, mas na ordem inversa:
. Vamos usar os conceitos de grupos e inversos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo
é um conjunto
com uma operação binária
que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para cada elemento.
Passo 3
Sabemos que para qualquer elemento
, existe um inverso
tal que
, onde
é o elemento neutro do grupo.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o inverso de
. Por definição, isso significa encontrar um elemento que, quando multiplicado por
, dê o elemento neutro
. Ou seja:
Passo 5
Vamos supor que
e verificar se isso satisfaz a condição acima:
Passo 6
Usando a propriedade associativa do grupo, podemos reescrever:
Passo 7
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 8
Como
é o elemento neutro, qualquer elemento multiplicado por
permanece igual:
Passo 9
E, por definição,
. Portanto:
Passo 10
Isso mostra que
é realmente o inverso de
. Logo, provamos que: