Mostre que o conjunto não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto não é um subespaço vetorial. Primeiro, vamos entender do que estamos falando:
Espaço Vetorial: É um conjunto de vetores que, além de obedecer certas regras (como fechar sob adição e multiplicação por escalar), forma uma estrutura matemática muito útil.
Subespaço Vetorial: É um subconjunto de um espaço vetorial que também é um espaço vetorial por si só, seguindo todas as propriedades necessárias.
Aqui, temos o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes 3x3 com entradas reais. O conjunto é definido como:
Ou seja, contém todas as matrizes 3x3 onde o elemento na posição (1,1) é um número real positivo, e os outros elementos podem ser quaisquer números reais.
Para provar que não é um subespaço vetorial, vamos verificar se ele não satisfaz uma das propriedades necessárias para ser um subespaço. A gente vai focar em duas propriedades principais:
Fechamento sob adição: Se você pegar duas matrizes de e somar, o resultado também deve estar em .
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma matriz de e multiplicar por qualquer escalar (número real), o resultado também deve estar em .
Se conseguirmos mostrar que pelo menos uma dessas propriedades não se mantém, então não é um subespaço vetorial.
Passo 2
Vamos primeiro verificar o fechamento sob adição. Isso significa pegar duas matrizes quaisquer de e somá-las, e ver se o resultado ainda pertence a .
Vamos considerar duas matrizes genéricas de :
Onde (positivos) e os demais elementos são reais quaisquer.
Vamos somar e :
Agora, para que pertença a , o elemento da matriz resultante, que é , deve ser um número real positivo.
Como e são positivos, a soma também é positiva. Isso significa que, até aqui, a soma de duas matrizes de ainda está em . Portanto, pode ser fechado sob adição. Vamos passar para a próxima propriedade.
Passo 3
Agora, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa pegar uma matriz de e multiplicar por qualquer número real , e ver se o resultado ainda pertence a .
Vamos pegar uma matriz de :
Onde e os demais elementos são reais quaisquer.
Multiplicando por um escalar :
Para que pertença a , o elemento da matriz resultante, que é , deve ser um número real positivo.
Agora, aqui está o pulo do gato:
Se , então porque , e tudo está bem.
Mas e se ? Então , ou seja, o elemento se torna negativo.
Isso significa que, ao multiplicar uma matriz de por um escalar negativo, o elemento deixa de ser positivo, o que faz com que a matriz resultante não pertença mais a .
Resposta
Como ao multiplicar uma matriz de por um escalar negativo, o elemento se torna negativo, o que viola a condição . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar e, consequentemente, não é um subespaço vetorial.