Mostre que (Q,+) não é um grupo cíclico.

Passo 1

Então, a gente tem a pergunta: “Mostre que (Q,+) não é um grupo cíclico.” Vamos trabalhar com teoria de grupos, especificamente falando sobre grupos cíclicos. Precisamos entender o que é um grupo cíclico e analisar por que o conjunto dos números racionais com a operação de adição não se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo é cíclico se ele pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que existe um elemento g no grupo tal que todo elemento do grupo pode ser obtido adicionando g a ele mesmo várias vezes (ou subtraindo, se for o caso).

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao grupo (Q,+). Suponha, para tentar chegar a um conflito, que (Q,+) seja um grupo cíclico. Então, deve existir um número racional q que gera todos os outros racionais através da adição repetida de q.

Passo 4

Se q gera todo o grupo, qualquer número racional r deveria ser igual a n cdot q para algum inteiro n. Isso quer dizer que dado qualquer r in Q, existe um inteiro n tal que r = n cdot q.

Passo 5

Vamos pensar em um exemplo específico. Considere q = 12. Os múltiplos inteiros de 12 são números como 12, 1, 32, etc. Mas e um número como 13? Não conseguimos expressar 13 como múltiplo inteiro de 12.

Passo 6

Isso mostra que, para qualquer escolha de q, sempre vai existir algum número racional que não pode ser obtido multiplicando q por um inteiro. Ou seja, não importa qual q você escolha, ele não consegue gerar todos os racionais.

Passo 7

Portanto, não existe um único elemento q em (Q,+) que possa gerar todos os números racionais apenas com adições e subtrações dele.

Resposta

Concluímos que (Q,+) não é um grupo cíclico, pois não existe um único elemento que possa gerar todos os números racionais através da adição repetida.

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