Mostre que
não é um grupo cíclico.
Passo 1
Então, a gente tem a pergunta: “Mostre que
não é um grupo cíclico.” Vamos trabalhar com teoria de grupos, especificamente falando sobre grupos cíclicos. Precisamos entender o que é um grupo cíclico e analisar por que o conjunto dos números racionais com a operação de adição não se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo é cíclico se ele pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que existe um elemento
no grupo tal que todo elemento do grupo pode ser obtido adicionando
a ele mesmo várias vezes (ou subtraindo, se for o caso).
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao grupo
. Suponha, para tentar chegar a um conflito, que
seja um grupo cíclico. Então, deve existir um número racional
que gera todos os outros racionais através da adição repetida de
.
Passo 4
Se
gera todo o grupo, qualquer número racional
deveria ser igual a
para algum inteiro
. Isso quer dizer que dado qualquer
, existe um inteiro
tal que
.
Passo 5
Vamos pensar em um exemplo específico. Considere
. Os múltiplos inteiros de
são números como
,
,
, etc. Mas e um número como
? Não conseguimos expressar
como múltiplo inteiro de
.
Passo 6
Isso mostra que, para qualquer escolha de
, sempre vai existir algum número racional que não pode ser obtido multiplicando
por um inteiro. Ou seja, não importa qual
você escolha, ele não consegue gerar todos os racionais.
Passo 7
Portanto, não existe um único elemento
em
que possa gerar todos os números racionais apenas com adições e subtrações dele.
Resposta
Concluímos que
não é um grupo cíclico, pois não existe um único elemento que possa gerar todos os números racionais através da adição repetida.