Mostre que não é um grupo cíclico.

Passo 1

Então, a gente tem a pergunta: “Mostre que não é um grupo cíclico.” Vamos trabalhar com teoria de grupos, especificamente falando sobre grupos cíclicos. Precisamos entender o que é um grupo cíclico e analisar por que o conjunto dos números racionais com a operação de adição não se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo é cíclico se ele pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que existe um elemento no grupo tal que todo elemento do grupo pode ser obtido adicionando a ele mesmo várias vezes (ou subtraindo, se for o caso).

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao grupo . Suponha, para tentar chegar a um conflito, que seja um grupo cíclico. Então, deve existir um número racional que gera todos os outros racionais através da adição repetida de .

Passo 4

Se gera todo o grupo, qualquer número racional deveria ser igual a para algum inteiro . Isso quer dizer que dado qualquer , existe um inteiro tal que .

Passo 5

Vamos pensar em um exemplo específico. Considere . Os múltiplos inteiros de são números como , , , etc. Mas e um número como ? Não conseguimos expressar como múltiplo inteiro de .

Passo 6

Isso mostra que, para qualquer escolha de , sempre vai existir algum número racional que não pode ser obtido multiplicando por um inteiro. Ou seja, não importa qual você escolha, ele não consegue gerar todos os racionais.

Passo 7

Portanto, não existe um único elemento em que possa gerar todos os números racionais apenas com adições e subtrações dele.

Resposta

Concluímos que não é um grupo cíclico, pois não existe um único elemento que possa gerar todos os números racionais através da adição repetida.

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e
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Calcule: