Então, a gente tem a pergunta: “Mostre que não é um grupo cíclico.” Vamos trabalhar com teoria de grupos, especificamente falando sobre grupos cíclicos. Precisamos entender o que é um grupo cíclico e analisar por que o conjunto dos números racionais com a operação de adição não se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo é cíclico se ele pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que existe um elemento no grupo tal que todo elemento do grupo pode ser obtido adicionando a ele mesmo várias vezes (ou subtraindo, se for o caso).
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao grupo . Suponha, para tentar chegar a um conflito, que seja um grupo cíclico. Então, deve existir um número racional que gera todos os outros racionais através da adição repetida de .
Passo 4
Se gera todo o grupo, qualquer número racional deveria ser igual a para algum inteiro . Isso quer dizer que dado qualquer , existe um inteiro tal que .
Passo 5
Vamos pensar em um exemplo específico. Considere . Os múltiplos inteiros de são números como , , , etc. Mas e um número como ? Não conseguimos expressar como múltiplo inteiro de .
Passo 6
Isso mostra que, para qualquer escolha de , sempre vai existir algum número racional que não pode ser obtido multiplicando por um inteiro. Ou seja, não importa qual você escolha, ele não consegue gerar todos os racionais.
Passo 7
Portanto, não existe um único elemento em que possa gerar todos os números racionais apenas com adições e subtrações dele.
Resposta
Concluímos que não é um grupo cíclico, pois não existe um único elemento que possa gerar todos os números racionais através da adição repetida.